Algèbre Exemples

${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2} - 27 \sin^{2} (x) = 9$

Étape 1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2} - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2

Simplifiez ${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2} - 27 \sin^{2} (x) - 9$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2}$ comme $(3 \cos (x) - 6 \sin (x)) (3 \cos (x) - 6 \sin (x))$ .

$(3 \cos (x) - 6 \sin (x)) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(3 \cos (x) - 6 \sin (x)) (3 \cos (x) - 6 \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cos (x) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ .

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Étape 2.1.3.1.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.1.4

Multipliez $- 6 \sin (x) (- 6 \sin (x))$ .

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Étape 2.1.3.1.4.1

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 \sin (x) \sin (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.1.4.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 {\sin (x)}^{1 + 1} - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.2

Réorganisez les facteurs de $- 18 \sin (x) \cos (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.3

Soustrayez $18 \cos (x) \sin (x)$ de $- 18 \cos (x) \sin (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 2.2

Déplacez $- 9$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.3

Remettez dans l’ordre $9 \cos^{2} (x)$ et $- 9$ .

$- 9 + 9 \cos^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9$ .

$- 9 (1) + 9 \cos^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 9$ à partir de $9 \cos^{2} (x)$ .

$- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x)) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 9 (1 - \cos^{2} (x)) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 9 \sin^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.8

Additionnez $- 9 \sin^{2} (x)$ et $36 \sin^{2} (x)$ .

$- 36 \cos (x) \sin (x) + 27 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.9

Associez les termes opposés dans $- 36 \cos (x) \sin (x) + 27 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.9.1

Soustrayez $27 \sin^{2} (x)$ de $27 \sin^{2} (x)$ .

$- 36 \cos (x) \sin (x) + 0 = 0$

Étape 2.9.2

Additionnez $- 36 \cos (x) \sin (x)$ et $0$ .

$- 36 \cos (x) \sin (x) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Étape 4

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 5.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 36 \cos (x) \sin (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$