Algèbre Exemples

$f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ comme une équation.

$y = 4 \sin (2 x + 5) - 7$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 4 \sin (2 y + 5) - 7$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $4 \sin (2 y + 5) - 7 = x$ .

$4 \sin (2 y + 5) - 7 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \sin (2 y + 5) = x + 7$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $4 \sin (2 y + 5) = x + 7$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (2 y + 5) = x + 7$ par $4$ .

$\frac{4 \sin (2 y + 5)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (2 y + 5)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $\sin (2 y + 5)$ par $1$ .

$\sin (2 y + 5) = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Étape 3.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$2 y + 5 = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})$

Étape 3.5

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) - 7}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) - 7 + 7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.2.3.2

Associez les termes opposés dans $4 \sin (2 x + 5) - 7 + 7$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) + 0}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez $4 \sin (2 x + 5)$ et $0$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5)}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5)}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.2.3.3.2

Divisez $\sin (2 x + 5)$ par $1$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\sin (2 x + 5))}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) + 5) - 7$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) + 5) - 7$

Étape 5.3.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5}{2}) + 5) - 7$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5}{2}) + 5) - 7$

Étape 5.3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5 + 5) - 7$

Étape 5.3.3.2

Associez les termes opposés dans $\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5 + 5$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4}) + 0) - 7$

Étape 5.3.3.2.2

Additionnez $\arcsin (\frac{x + 7}{4})$ et $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4})) - 7$

Étape 5.3.3.3

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 (\frac{x + 7}{4}) - 7$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 (\frac{x + 7}{4}) - 7$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x + 7 - 7$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 7 - 7$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$