Algèbre Exemples

$\frac{4 x^{2} + 23 x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x^{2} + 23 x + 15}{16 x^{2} - 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$16 x^{2} - 9 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} = 9$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $16 x^{2} = 9$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $16 x^{2} = 9$ par $16$ .

$\frac{16 x^{2}}{16} = \frac{9}{16}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x^{2}}{16} = \frac{9}{16}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{16}$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{16}}$

Étape 2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{9}{16}}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{9}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{16}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 2.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{3}{4}$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{3}{4}$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{3}{4}$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{3}{4}, - \frac{3}{4}$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 4.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.4

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 3, - 5$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 5, x = - \frac{3}{4}, x = \frac{3}{4}, x = 3$

Étape 6