Algèbre Exemples

${(6 x^{2} + 7 x)}^{2} - 4 (6 x^{2} + 7 x) - 5$

Étape 1

Laissez $u = 6 x^{2} + 7 x$ . Remplacez toutes les occurrences de $6 x^{2} + 7 x$ par $u$ .

$u^{2} - 4 u - 5$

Étape 2

Factorisez $u^{2} - 4 u - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 5) (u + 1)$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x^{2} + 7 x$ .

$(6 x^{2} + 7 x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 5 = - 30$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$(6 x^{2} + 7 (x) - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Étape 4.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 3$ plus $10$

$(6 x^{2} + (- 3 + 10) x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(6 x^{2} - 3 x + 10 x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$((6 x^{2} - 3 x) + 10 x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(3 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + 7 (x) + 1)$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $7$ comme $1$ plus $6$

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + (1 + 6) x + 1)$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + 1 x + 6 x + 1)$

Étape 5.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + x + 6 x + 1)$

Étape 5.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x - 1) (3 x + 5) ((6 x^{2} + x) + 6 x + 1)$

Étape 5.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(2 x - 1) (3 x + 5) (x (6 x + 1) + 1 (6 x + 1))$

Étape 5.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $6 x + 1$ .

$(2 x - 1) (3 x + 5) ((6 x + 1) (x + 1))$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x + 1) (x + 1)$