Algèbre Exemples

$x^{13} - 2 x^{12} - x^{11} + 2 x^{10} = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{10}$ à partir de $x^{13} - 2 x^{12} - x^{11} + 2 x^{10}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{10}$ à partir de $x^{13}$ .

$x^{10} x^{3} - 2 x^{12} - x^{11} + 2 x^{10} = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{10}$ à partir de $- 2 x^{12}$ .

$x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2}) - x^{11} + 2 x^{10} = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{10}$ à partir de $- x^{11}$ .

$x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2}) + x^{10} (- x) + 2 x^{10} = 0$

Étape 1.1.4

Factorisez $x^{10}$ à partir de $2 x^{10}$ .

$x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2}) + x^{10} (- x) + x^{10} \cdot 2 = 0$

Étape 1.1.5

Factorisez $x^{10}$ à partir de $x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2})$ .

$x^{10} (x^{3} - 2 x^{2}) + x^{10} (- x) + x^{10} \cdot 2 = 0$

Étape 1.1.6

Factorisez $x^{10}$ à partir de $x^{10} (x^{3} - 2 x^{2}) + x^{10} (- x)$ .

$x^{10} (x^{3} - 2 x^{2} - x) + x^{10} \cdot 2 = 0$

Étape 1.1.7

Factorisez $x^{10}$ à partir de $x^{10} (x^{3} - 2 x^{2} - x) + x^{10} \cdot 2$ .

$x^{10} (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) = 0$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{10} ((x^{3} - 2 x^{2}) - x + 2) = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{10} (x^{2} (x - 2) - (x - 2)) = 0$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 2$ .

$x^{10} ((x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

Étape 1.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{10} ((x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Étape 1.5

Factorisez.

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Étape 1.5.1

Factorisez.

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Étape 1.5.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{10} ((x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Étape 1.5.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{10} ((x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{10} (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{10} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{10}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{10}$ égal à $0$ .

$x^{10} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{10} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[10]{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[10]{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{10}$ .

$x = \pm \sqrt[10]{0^{10}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{10} (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, - 1, 1$