Algèbre Exemples

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 (t^{2} - 9) = - 5$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} + 16 \cdot - 9 = - 5$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $16$ par $- 9$ .

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 = - 5$

Étape 1.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3

Simplifiez $3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5$ .

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez ${(t^{2} - 9)}^{2}$ comme $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ .

$3 ((t^{2} - 9) (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.1.2

Développez $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (t^{2} (t^{2} - 9) - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.3.1.1

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$3 (t^{4} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.1.3.1.2

Déplacez $- 9$ à gauche de $t^{2}$ .

$3 (t^{4} - 9 \cdot t^{2} - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.1.3.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 9$ .

$3 (t^{4} - 9 t^{2} - 9 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.1.3.2

Soustrayez $9 t^{2}$ de $- 9 t^{2}$ .

$3 (t^{4} - 18 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 t^{4} + 3 (- 18 t^{2}) + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.1.5

Simplifiez

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Étape 1.3.1.5.1

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.1.5.2

Multipliez $3$ par $81$ .

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 243 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $- 54 t^{2}$ et $16 t^{2}$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 243 - 144 + 5 = 0$

Étape 1.3.3

Soustrayez $144$ de $243$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 99 + 5 = 0$

Étape 1.3.4

Additionnez $99$ et $5$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$

Étape 2

Remplacez $u = t^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

$u = t^{2}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 104 = 312$ et dont la somme est $b = - 38$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 38$ à partir de $- 38 u$ .

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 38$ comme $- 12$ plus $- 26$

$3 u^{2} + (- 12 - 26) u + 104 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} - 12 u - 26 u + 104 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} - 12 u) - 26 u + 104 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 u (u - 4) - 26 (u - 4) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 4$ .

$(u - 4) (3 u - 26) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 4 = 0$

$3 u - 26 = 0$

Étape 5

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 6

Définissez $3 u - 26$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Définissez $3 u - 26$ égal à $0$ .

$3 u - 26 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $3 u - 26 = 0$ pour $u$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $26$ aux deux côtés de l’équation.

$3 u = 26$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $3 u = 26$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u = 26$ par $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{26}{3}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 4) (3 u - 26) = 0$ vraie.

$u = 4, \frac{26}{3}$

Étape 8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = t^{2}$ dans l’équation résolue.

$t^{2} = 4$

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

Étape 9

Résolvez la première équation pour $t$ .

$t^{2} = 4$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{4}$

Étape 10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 10.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 10.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$t = \pm 2$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = 2$

Étape 10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - 2$

Étape 10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = 2, - 2$

Étape 11

Résolvez la deuxième équation pour $t$ .

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

Étape 12

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$t^{2} = \frac{26}{3}$

Étape 12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{\frac{26}{3}}$

Étape 12.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{26}{3}}$ .

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Étape 12.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{26}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$

Étape 12.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 12.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 12.3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 12.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 12.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 12.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 12.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 12.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 12.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 12.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3}$

Étape 12.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$t = \pm \frac{\sqrt{26 \cdot 3}}{3}$

Étape 12.3.4.2

Multipliez $26$ par $3$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{78}}{3}$

Étape 12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}$

Étape 12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Étape 12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Étape 13

La solution à $3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$ est $t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$ .

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Forme décimale :

$t = 2, - 2, 2.94392028 \dots, - 2.94392028 \dots$