Algèbre Exemples

$\sqrt{2} \cdot x^{2} + 7 x + 5 \sqrt{2} = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = \sqrt{2}$ , $b = 7$ et $c = 5 \sqrt{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (\sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2}))}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 20 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 3.1.3.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 20$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.6

Soustrayez $40$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.3.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 3.3.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 \pm 3$ .

$x = \frac{- 1 (- (- 7 \pm 3)) \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 (- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.7

Multipliez $- 7 \pm 3$ par $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ .

$x = \frac{\sqrt{2} (- 7 \pm 3)}{4}$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$x = - 1.41421356 \dots, - 3.53553390 \dots$