Algèbre Exemples

$\frac{x + 8}{x - 9} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x - 8} \div \frac{x^{2} + 10 x + 16}{4 x^{2} - 68 x + 288}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x + 8}{x - 9} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x - 8} \frac{4 x^{2} - 68 x + 288}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 10 x + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $10$ .

$2, 8$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 8}{x - 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x - 8} \frac{4 x^{2} - 68 x + 288}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 3

Multipliez $\frac{x + 8}{x - 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x - 8}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x + 8}{x - 9}$ par $\frac{(x + 2) (x + 8)}{x - 8}$ .

$\frac{(x + 8) ((x + 2) (x + 8))}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 x^{2} - 68 x + 288}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 3.2

Élevez $x + 8$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 8)}^{1} (x + 8) (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 x^{2} - 68 x + 288}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 3.3

Élevez $x + 8$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 8)}^{1} {(x + 8)}^{1} (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 x^{2} - 68 x + 288}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x + 8)}^{1 + 1} (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 x^{2} - 68 x + 288}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x + 8)}^{2} (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 x^{2} - 68 x + 288}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 68 x + 288$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{{(x + 8)}^{2} (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 (x^{2}) - 68 x + 288}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 4.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 68 x$ .

$\frac{{(x + 8)}^{2} (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 (x^{2}) + 4 (- 17 x) + 288}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $288$ .

$\frac{{(x + 8)}^{2} (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 x^{2} + 4 (- 17 x) + 4 \cdot 72}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 4.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 17 x)$ .

$\frac{{(x + 8)}^{2} (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 (x^{2} - 17 x) + 4 \cdot 72}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 4.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 17 x) + 4 \cdot 72$ .

$\frac{{(x + 8)}^{2} (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 (x^{2} - 17 x + 72)}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2} - 17 x + 72$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $72$ et dont la somme est $- 17$ .

$- 9, - 8$

Étape 4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(x + 8)}^{2} (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 ((x - 9) (x - 8))}{x^{2} + 10 x + 16}$

$\frac{{(x + 8)}^{2} (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 (x - 9) (x - 8)}{x^{2} + 10 x + 16}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 10 x + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $10$ .

$2, 8$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(x + 8)}^{2} (x + 2)}{(x - 9) (x - 8)} \cdot \frac{4 (x - 9) (x - 8)}{(x + 2) (x + 8)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{{(x + 8)}^{2} (x + 2) (4 (x - 9) (x - 8))}{(x - 9) (x - 8) ((x + 2) (x + 8))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à ${(x + 8)}^{2}$ et $x + 8$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x + 8$ à partir de ${(x + 8)}^{2} (x + 2) (4 (x - 9) (x - 8))$ .

$\frac{(x + 8) (((x + 8) (x + 2)) (4 (x - 9) (x - 8)))}{(x - 9) (x - 8) ((x + 2) (x + 8))}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $x + 8$ à partir de $(x - 9) (x - 8) ((x + 2) (x + 8))$ .

$\frac{(x + 8) (((x + 8) (x + 2)) (4 (x - 9) (x - 8)))}{(x + 8) ((x - 9) (x - 8) (x + 2))}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 8) (((x + 8) (x + 2)) (4 (x - 9) (x - 8)))}{(x + 8) ((x - 9) (x - 8) (x + 2))}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x + 8) (x + 2)) (4 (x - 9) (x - 8))}{(x - 9) (x - 8) (x + 2)}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 8) (x + 2) (4 (x - 9) (x - 8))}{(x - 9) (x - 8) (x + 2)}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 8) (4 (x - 9) (x - 8))}{(x - 9) (x - 8)}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x - 9$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 8) (4 (x - 9) (x - 8))}{(x - 9) (x - 8)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 8) (4 (x - 8))}{x - 8}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

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Étape 6.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 8) (4 (x - 8))}{x - 8}$

Étape 6.5.2

Divisez $(x + 8) \cdot (4)$ par $1$ .

$(x + 8) \cdot (4)$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot 4 + 8 \cdot 4$

Étape 6.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.7.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$4 \cdot x + 8 \cdot 4$

Étape 6.7.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$4 x + 32$