Algèbre Exemples

$\frac{(x + 5) (x - 4)}{(x - 3) (x + 7)} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 5$

$x = 4$

$x = 3$

$x = - 7$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = - 5, 4, 3, - 7$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{(x + 5) (x - 4)}{(x - 3) (x + 7)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 5) (x - 4)}{(x - 3) (x + 7)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x - 3) (x + 7) = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 8.2.2

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 8.2.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 8.2.3

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 8.2.3.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 8.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 7) = 0$ vraie.

$x = 3, - 7$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((- 10) + 5) ((- 10) - 4)}{((- 10) - 3) ((- 10) + 7)} \leq 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $1.\overline{794871}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((- 6) + 5) ((- 6) - 4)}{((- 6) - 3) ((- 6) + 7)} \leq 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 1.\overline{1}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((0) + 5) ((0) - 4)}{((0) - 3) ((0) + 7)} \leq 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $0.\overline{952380}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3.5$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $3.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((3.5) + 5) ((3.5) - 4)}{((3.5) - 3) ((3.5) + 7)} \leq 0$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $- 0.\overline{809523}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.5.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((6) + 5) ((6) - 4)}{((6) - 3) ((6) + 7)} \leq 0$

Étape 10.5.3

Le côté gauche $0.\overline{564102}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 7$ Faux

$- 7 < x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 3$ Faux

$3 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 7$ Faux

$- 7 < x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 3$ Faux

$3 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 7 < x \leq - 5$ ou $3 < x \leq 4$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 7 < x \leq - 5 or 3 < x \leq 4$

Notation d’intervalle :

$(- 7, - 5] \cup (3, 4]$

Étape 13