Algèbre Exemples

$6 x^{2} - x - 12 \geq - 10$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$6 x^{2} - x - 12 = - 10$

Étape 2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} - x - 12 + 10 = 0$

Étape 3

Additionnez $- 12$ et $10$ .

$6 x^{2} - x - 2 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 2 = - 12$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$6 x^{2} - (x) - 2 = 0$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $3$ plus $- 4$

$6 x^{2} + (3 - 4) x - 2 = 0$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(6 x^{2} + 3 x) - 4 x - 2 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (3 x - 2) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Étape 6

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 7

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (3 x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12 \geq - 10$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $45$ est supérieur au côté droit $- 10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(0)}^{2} - (0) - 12 \geq - 10$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 12$ est inférieur au côté droit $- 10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(3)}^{2} - (3) - 12 \geq - 10$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $39$ est supérieur au côté droit $- 10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1}{2}$ Vrai

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ Faux

$x > \frac{2}{3}$ Vrai

$x < - \frac{1}{2}$ Vrai

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ Faux

$x > \frac{2}{3}$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \frac{1}{2}$ ou $x \geq \frac{2}{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - \frac{1}{2} or x \geq \frac{2}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$

Étape 13