Algèbre Exemples

$g (x) = \frac{1}{2} \sqrt[2]{x + 1} + 4$

Étape 1

Écrivez $g (x) = \frac{1}{2} \sqrt[2]{x + 1} + 4$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[2]{x + 1} + 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 1} + 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 1} + 4 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 1} + 4 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 1} = x - 4$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 1})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 1}$ comme ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(\frac{1}{2} \cdot {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Associez les fractions.

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Étape 3.4.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{{(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} = {(x - 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} = {(x - 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} = {(x - 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(y + 1)}^{1}}{2^{2}} = {(x - 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2.2

Simplifiez

$\frac{y + 1}{2^{2}} = {(x - 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{y + 1}{4} = {(x - 4)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 4)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$\frac{y + 1}{4} = (x - 4) (x - 4)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1}{4} = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1}{4} = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1}{4} = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{y + 1}{4} = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{y + 1}{4} = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{y + 1}{4} = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

Étape 3.4.3.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{y + 1}{4} = x^{2} - 8 x + 16$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y + 1}{4} = 4 (x^{2} - 8 x + 16)$

Étape 3.5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y + 1}{4} = 4 (x^{2} - 8 x + 16)$

Étape 3.5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y + 1 = 4 (x^{2} - 8 x + 16)$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.1

Simplifiez $4 (x^{2} - 8 x + 16)$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = 4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16$

Étape 3.5.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 3.5.2.2.1.2.1

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$y + 1 = 4 x^{2} - 32 x + 4 \cdot 16$

Étape 3.5.2.2.1.2.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$y + 1 = 4 x^{2} - 32 x + 64$

Étape 3.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = 4 x^{2} - 32 x + 64 - 1$

Étape 3.5.3.2

Soustrayez $1$ de $64$ .

$y = 4 x^{2} - 32 x + 63$

Étape 4

Remplacez $y$ par $g^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$g^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 32 x + 63$

Étape 5

Vérifiez si $g^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 32 x + 63$ est l’inverse de $g (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $g^{- 1} (g (x)) = x$ et $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $g^{- 1} (g (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$g^{- 1} (g (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4)$ en remplaçant la valeur de $g$ par $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4)}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{x + 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + 4)}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2})}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.3

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2})}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{\sqrt{x + 1} + 4 \cdot 2}{2})}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 {(\frac{\sqrt{x + 1} + 8}{2})}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{x + 1} + 8}{2}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 (\frac{{(\sqrt{x + 1} + 8)}^{2}}{2^{2}}) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 (\frac{{(\sqrt{x + 1} + 8)}^{2}}{4}) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = 4 (\frac{{(\sqrt{x + 1} + 8)}^{2}}{4}) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {(\sqrt{x + 1} + 8)}^{2} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.9

Réécrivez ${(\sqrt{x + 1} + 8)}^{2}$ comme $(\sqrt{x + 1} + 8) (\sqrt{x + 1} + 8)$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = (\sqrt{x + 1} + 8) (\sqrt{x + 1} + 8) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.10

Développez $(\sqrt{x + 1} + 8) (\sqrt{x + 1} + 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = \sqrt{x + 1} (\sqrt{x + 1} + 8) + 8 (\sqrt{x + 1} + 8) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 (\sqrt{x + 1} + 8) - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.11.1.1

Multipliez $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

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Étape 5.2.3.11.1.1.1

Élevez $\sqrt{x + 1}$ à la puissance $1$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.1.1.2

Élevez $\sqrt{x + 1}$ à la puissance $1$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {\sqrt{x + 1}}^{2} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ comme $x + 1$ .

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Étape 5.2.3.11.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.11.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = (x + 1) + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.1.2.5

Simplifiez

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 1 + \sqrt{x + 1} \cdot 8 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.1.3

Déplacez $8$ à gauche de $\sqrt{x + 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 1 + 8 \cdot \sqrt{x + 1} + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \cdot 8 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.1.4

Multipliez $8$ par $8$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 1 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \sqrt{x + 1} + 64 - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.2

Additionnez $1$ et $64$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 8 \sqrt{x + 1} + 8 \sqrt{x + 1} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.11.3

Additionnez $8 \sqrt{x + 1}$ et $8 \sqrt{x + 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{x + 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 (\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + 4) + 63$

Étape 5.2.3.13

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 (\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}) + 63$

Étape 5.2.3.14

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 (\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}) + 63$

Étape 5.2.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 \frac{\sqrt{x + 1} + 4 \cdot 2}{2} + 63$

Étape 5.2.3.16

Multipliez $4$ par $2$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 32 \frac{\sqrt{x + 1} + 8}{2} + 63$

Étape 5.2.3.17

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.17.1

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} + 2 (- 16) (\frac{\sqrt{x + 1} + 8}{2}) + 63$

Étape 5.2.3.17.2

Annulez le facteur commun.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} + 2 \cdot (- 16 \frac{\sqrt{x + 1} + 8}{2}) + 63$

Étape 5.2.3.17.3

Réécrivez l’expression.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 16 (\sqrt{x + 1} + 8) + 63$

Étape 5.2.3.18

Appliquez la propriété distributive.

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 16 \sqrt{x + 1} - 16 \cdot 8 + 63$

Étape 5.2.3.19

Multipliez $- 16$ par $8$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 16 \sqrt{x + 1} - 128 + 63$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 65 + 16 \sqrt{x + 1} - 16 \sqrt{x + 1} - 128 + 63$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $16 \sqrt{x + 1}$ de $16 \sqrt{x + 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 + 0 - 128 + 63$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x + 65$ et $0$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 65 - 128 + 63$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $128$ de $65$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x - 63 + 63$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 63 + 63$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 63$ et $63$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4) = x$

Étape 5.3

Évaluez $g (g^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$g (g^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $g (4 x^{2} - 32 x + 63)$ en remplaçant la valeur de $g^{- 1}$ par $g$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(4 x^{2} - 32 x + 63) + 1} + 4$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $63$ et $1$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} - 32 x + 64} + 4$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 32 x + 64$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2}) - 32 x + 64} + 4$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 32 x$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) + 64} + 4$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16} + 4$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 8 x)$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2} - 8 x) + 4 \cdot 16} + 4$

Étape 5.3.3.2.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 8 x) + 4 \cdot 16$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16)} + 4$

Étape 5.3.3.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.3.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 4^{2})} + 4$

Étape 5.3.3.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez le polynôme.

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})} + 4$

Étape 5.3.3.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 {(x - 4)}^{2}} + 4$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez $4 {(x - 4)}^{2}$ comme ${(2 (x - 4))}^{2}$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 (x - 4))}^{2}} + 4$

Étape 5.3.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x - 4)) + 4$

Étape 5.3.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x - 4)) + 4$

Étape 5.3.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = x - 4 + 4$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 4 + 4$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$g (4 x^{2} - 32 x + 63) = x$

Étape 5.4

Comme $g^{- 1} (g (x)) = x$ et $g (g^{- 1} (x)) = x$ , $g^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 32 x + 63$ est l’inverse de $g (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 1} + 4$ .

$g^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 32 x + 63$