Algèbre Exemples

$f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (| 2 - x |)$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log_{\frac{1}{2}} (| 2 - x |)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$| 2 - x | > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Écrivez $| 2 - x | > 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$2 - x \geq 0$

Étape 2.1.2

Résolvez l’inégalité.

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 2$

Étape 2.1.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.1.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x \leq 2$

Étape 2.1.3

Dans la partie où $2 - x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$2 - x > 0$

Étape 2.1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$2 - x < 0$

Étape 2.1.5

Résolvez l’inégalité.

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Étape 2.1.5.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x < - 2$

Étape 2.1.5.2

Divisez chaque terme dans $- x < - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x < - 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.1.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.5.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x > 2$

Étape 2.1.6

Dans la partie où $2 - x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (2 - x) > 0$

Étape 2.1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - (2 - x) > 0 & x > 2 \end{cases}$

Étape 2.1.8

Simplifiez $- (2 - x) > 0$ .

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Étape 2.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 1 \cdot 2 - - x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 2 - - x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Étape 2.1.8.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 2.1.8.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 2 + 1 x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Étape 2.1.8.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 2 + x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Étape 2.2

Résolvez $2 - x > 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x > - 2$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x > - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x > - 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x < 2$

Étape 2.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x > 2$

Étape 2.4

Déterminez l’union des solutions.

$x < 2$ ou $x > 2$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, 2) \cup (2, \infty), {x | x \neq 2}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 6