Algèbre Exemples

$2 | x + 2 | + 3 \geq 11$

Étape 1

Écrivez $2 | x + 2 | + 3 \geq 11$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x + 2 \geq 0$

Étape 1.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 2$

Étape 1.3

Dans la partie où $x + 2$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$2 (x + 2) + 3 \geq 11$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x + 2 < 0$

Étape 1.5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < - 2$

Étape 1.6

Dans la partie où $x + 2$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$2 (- (x + 2)) + 3 \geq 11$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} 2 (x + 2) + 3 \geq 11 & x \geq - 2 \\ 2 (- (x + 2)) + 3 \geq 11 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $2 (x + 2) + 3 \geq 11$ .

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 2 x + 2 \cdot 2 + 3 \geq 11 & x \geq - 2 \\ 2 (- (x + 2)) + 3 \geq 11 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${\begin{cases} 2 x + 4 + 3 \geq 11 & x \geq - 2 \\ 2 (- (x + 2)) + 3 \geq 11 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.8.2

Additionnez $4$ et $3$ .

${\begin{cases} 2 x + 7 \geq 11 & x \geq - 2 \\ 2 (- (x + 2)) + 3 \geq 11 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.9

Simplifiez $2 (- (x + 2)) + 3 \geq 11$ .

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Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 2 x + 7 \geq 11 & x \geq - 2 \\ 2 (- x - 1 \cdot 2) + 3 \geq 11 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.9.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${\begin{cases} 2 x + 7 \geq 11 & x \geq - 2 \\ 2 (- x - 2) + 3 \geq 11 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 2 x + 7 \geq 11 & x \geq - 2 \\ 2 (- x) + 2 \cdot - 2 + 3 \geq 11 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${\begin{cases} 2 x + 7 \geq 11 & x \geq - 2 \\ - 2 x + 2 \cdot - 2 + 3 \geq 11 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.9.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

${\begin{cases} 2 x + 7 \geq 11 & x \geq - 2 \\ - 2 x - 4 + 3 \geq 11 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.9.2

Additionnez $- 4$ et $3$ .

${\begin{cases} 2 x + 7 \geq 11 & x \geq - 2 \\ - 2 x - 1 \geq 11 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $2 x + 7 \geq 11$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.1.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x \geq 11 - 7$

Étape 2.1.2

Soustrayez $7$ de $11$ .

$2 x \geq 4$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 x \geq 4$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x \geq 4$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{4}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{4}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{4}{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $4$ par $2$ .

$x \geq 2$

Étape 3

Résolvez $- 2 x - 1 \geq 11$ pour $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x \geq 11 + 1$

Étape 3.1.2

Additionnez $11$ et $1$ .

$- 2 x \geq 12$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x \geq 12$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x \geq 12$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{12}{- 2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{12}{- 2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{12}{- 2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $12$ par $- 2$ .

$x \leq - 6$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - 6$ ou $x \geq 2$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - 6 or x \geq 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 6] \cup [2, \infty)$

Étape 6