Algèbre Exemples

$\frac{x + 2 \sqrt{y}}{x - 2 \sqrt{y}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{x + 2 \sqrt{y}}{x - 2 \sqrt{y}}$ par $\frac{x + 2 \sqrt{y}}{x + 2 \sqrt{y}}$ .

$\frac{x + 2 \sqrt{y}}{x - 2 \sqrt{y}} \cdot \frac{x + 2 \sqrt{y}}{x + 2 \sqrt{y}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{x + 2 \sqrt{y}}{x - 2 \sqrt{y}}$ par $\frac{x + 2 \sqrt{y}}{x + 2 \sqrt{y}}$ .

$\frac{(x + 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})}{(x - 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(x + 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})}{x^{2} + x (2 \sqrt{y}) - 2 \sqrt{y} x - 4 {\sqrt{y}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x + 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x + 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(x + 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y^{1}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{(x + 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $x + 2 \sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 2 \sqrt{y})}^{1} (x + 2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y}$

Étape 3.2

Élevez $x + 2 \sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 2 \sqrt{y})}^{1} {(x + 2 \sqrt{y})}^{1}}{x^{2} - 4 y}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x + 2 \sqrt{y})}^{1 + 1}}{x^{2} - 4 y}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x + 2 \sqrt{y})}^{2}}{x^{2} - 4 y}$

Étape 4

Réécrivez ${(x + 2 \sqrt{y})}^{2}$ comme $(x + 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})$ .

$\frac{(x + 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y}$

Étape 5

Développez $(x + 2 \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{y})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 2 \sqrt{y}) + 2 \sqrt{y} (x + 2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x (2 \sqrt{y}) + 2 \sqrt{y} (x + 2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x (2 \sqrt{y}) + 2 \sqrt{y} x + 2 \sqrt{y} (2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x (2 \sqrt{y}) + 2 \sqrt{y} x + 2 \sqrt{y} (2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 2 \sqrt{y} (2 \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.3

Multipliez $2 \sqrt{y} (2 \sqrt{y})$ .

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Étape 6.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 4 \sqrt{y} \sqrt{y}}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.3.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 4 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.3.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 4 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 4 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 4 {\sqrt{y}}^{2}}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.4

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 6.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 4 y^{\frac{2}{2}}}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 4 y^{\frac{2}{2}}}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 4 y^{1}}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.1.4.5

Simplifiez

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 \sqrt{y} x + 4 y}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.2

Réorganisez les facteurs de $2 \sqrt{y} x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x \sqrt{y} + 2 x \sqrt{y} + 4 y}{x^{2} - 4 y}$

Étape 6.3

Additionnez $2 x \sqrt{y}$ et $2 x \sqrt{y}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x \sqrt{y} + 4 y}{x^{2} - 4 y}$