Algèbre Exemples

$\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{3} - y^{3}} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Étape 1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Étape 2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Étape 4.2

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}$

Étape 4.3

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y))}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) {(x + y)}^{2}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x + y$ et ${(x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x + y$ à partir de $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y))$ .

$\frac{(x + y) ((x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y)))}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) {(x + y)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x + y$ à partir de $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) {(x + y)}^{2}$ .

$\frac{(x + y) ((x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y)))}{(x + y) ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) (x + y))}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + y) ((x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y)))}{(x + y) ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) (x + y))}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y))}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) (x + y)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $x + y$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y))}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) (x + y)}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} - x y + y^{2}) (x - y)}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x - y$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} - x y + y^{2}) (x - y)}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$