Algèbre Exemples

$\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 1$

$x = 4$

$x = - 8$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = - 1, 4, - 8$

Étape 7

Déterminez le domaine de $\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 7.2.2

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.2.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 7.2.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 7.2.3

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.3.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 7.2.3.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 7.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 4, - 8$

Étape 7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 10) + 1}{((- 10) - 4) ((- 10) + 8)} \geq 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 0.32142857$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 4) + 1}{((- 4) - 4) ((- 4) + 8)} \geq 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $0.09375$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 1}{((0) - 4) ((0) + 8)} \geq 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 0.03125$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(6) + 1}{((6) - 4) ((6) + 8)} \geq 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $0.25$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 8 < x \leq - 1$ ou $x > 4$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 8 < x \leq - 1 or x > 4$

Notation d’intervalle :

$(- 8, - 1] \cup (4, \infty)$

Étape 12