Algèbre Exemples

$- 2 x^{2} + 24 x > - 4 x + 96$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x^{2} + 24 x + 4 x > 96$

Étape 1.2

Additionnez $24 x$ et $4 x$ .

$- 2 x^{2} + 28 x > 96$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 2 x^{2} + 28 x = 96$

Étape 3

Soustrayez $96$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} + 28 x - 96 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2} + 28 x - 96$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 28 x - 96 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $28 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 14 x) - 96 = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 96$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 14 x) - 2 \cdot 48 = 0$

Étape 4.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 14 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 14 x) - 2 \cdot 48 = 0$

Étape 4.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2} - 14 x) - 2 (48)$ .

$- 2 (x^{2} - 14 x + 48) = 0$

Étape 4.2

Factorisez.

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2} - 14 x + 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $48$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 8, - 6$

Étape 4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 ((x - 8) (x - 6)) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x - 8) (x - 6) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 7

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x - 8) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 8, 6$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 6$

$6 < x < 8$

$x > 8$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(0)}^{2} + 24 (0) > - 4 \cdot 0 + 96$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0$ n’est pas supérieur au côté droit $96$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $6 < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $6 < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 7$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $7$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(7)}^{2} + 24 (7) > - 4 \cdot 7 + 96$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $70$ est supérieur au côté droit $68$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(10)}^{2} + 24 (10) > - 4 \cdot 10 + 96$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $40$ n’est pas supérieur au côté droit $56$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 6$ Faux

$6 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

$x < 6$ Faux

$6 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$6 < x < 8$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$6 < x < 8$

Notation d’intervalle :

$(6, 8)$

Étape 13