Algèbre Exemples

$\frac{t^{2} + 3}{t^{4} - 16} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 3}{{(t^{2})}^{2} - 16} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 3}{{(t^{2})}^{2} - 4^{2}} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1.1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t^{2}$ et $b = 4$ .

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t^{2} - 4)} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t^{2} - 2^{2})} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1.1.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 2$ .

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{4^{2} - t^{4}}$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{4^{2} - {(t^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (4 - t^{2})}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.1.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2^{2} - t^{2})}$

Étape 1.1.2.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = t$ .

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (2 + t) (2 - t)}$

Étape 1.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (2 - t)}$

Étape 1.2.3

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2) - t)}$

Étape 1.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- t$ .

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2) - (t))}$

Étape 1.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (t)$ .

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2 + t))}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2 + t))}$ au numérateur.

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{- 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 2 + t)}$

Étape 1.2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{- 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Étape 1.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t^{2} + 3 - 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{t^{2} + 3 - 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Étape 2.2

Soustrayez $7$ de $3$ .

$\frac{t^{2} - 4}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Étape 2.3

Réécrivez $t^{2} - 4$ en forme factorisée.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 2^{2}}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Étape 2.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 2$ .

$\frac{(t + 2) (t - 2)}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $t + 2$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(t + 2) (t - 2)}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t - 2}{(t^{2} + 4) (t - 2)}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $t - 2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t - 2}{(t^{2} + 4) (t - 2)}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{t^{2} + 4}$