Algèbre Exemples

$\frac{10}{x + 2} \leq 5$

Étape 1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{10}{x + 2} - 5 \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{10}{x + 2} - 5$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{10}{x + 2} - 5 \cdot \frac{x + 2}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.2

Associez $- 5$ et $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{10}{x + 2} + \frac{- 5 (x + 2)}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10 - 5 (x + 2)}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Factorisez $5$ à partir de $10 - 5 (x + 2)$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 (2) - 5 (x + 2)}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 (x + 2)$ .

$\frac{5 (2) + 5 (- (x + 2))}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (2) + 5 (- (x + 2))$ .

$\frac{5 (2 - (x + 2))}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (2 - x - 1 \cdot 2)}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5 (2 - x - 2)}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.4.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{5 (- x + 0)}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.4.5

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{5 \cdot - 1 x}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.4.6

Associez les exposants.

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Étape 2.4.6.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (5 x)}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.4.6.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 x}{x + 2} \leq 0$

Étape 2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x}{x + 2} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$- 5 x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 5 x = 0$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x = 0$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 5}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 5$ .

$x = 0$

Étape 5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 2$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 2$

Étape 8

Déterminez le domaine de $- \frac{5 x}{x + 2}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 x}{x + 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 2 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{10}{(- 4) + 2} \leq 5$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 5$ est inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{10}{(- 1) + 2} \leq 5$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $10$ est supérieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{10}{(2) + 2} \leq 5$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $2.5$ est inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $x \geq 0$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 2 or x \geq 0$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup [0, \infty)$

Étape 13