Algèbre Exemples

$\frac{2}{3} (1 - e^{- x}) \leq - 3$

Étape 1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot (1 - e^{- x})$ .

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} (- e^{- x}) \leq - 3$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} (- e^{- x}) \leq - 3$

Étape 1.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $e^{- x}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - 3$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.1

Soustrayez $\frac{2}{3}$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - 3 - \frac{2}{3}$

Étape 2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - 3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 2.3

Associez $- 3$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 3 \cdot 3 - 2}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 9 - 2}{3}$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ de $- 9$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 11}{3}$

Étape 2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - \frac{11}{3}$

Étape 3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$- 2 e^{- x} \leq - 11$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 2 e^{- x} \leq - 11$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 e^{- x} \leq - 11$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 e^{- x}}{- 2} \geq \frac{- 11}{- 2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 e^{- x}}{- 2} \geq \frac{- 11}{- 2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $e^{- x}$ par $1$ .

$e^{- x} \geq \frac{- 11}{- 2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$e^{- x} \geq \frac{11}{2}$

Étape 5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) \geq \ln (\frac{11}{2})$

Étape 6

Développez le côté gauche.

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Étape 6.1

Développez $\ln (e^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$- x \ln (e) \geq \ln (\frac{11}{2})$

Étape 6.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- x \cdot 1 \geq \ln (\frac{11}{2})$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- x \geq \ln (\frac{11}{2})$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- x \geq \ln (\frac{11}{2})$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq \ln (\frac{11}{2})$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$

Étape 7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \ln (\frac{11}{2})$

Étape 7.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (\frac{11}{2})$ comme $- \ln (\frac{11}{2})$ .

$x \leq - \ln (\frac{11}{2})$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - \ln (\frac{11}{2})$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \ln (\frac{11}{2})]$

Étape 9