Algèbre Exemples

$\tan (15) \tan (30)$

Étape 1

La valeur exacte de $\tan (15)$ est $2 - \sqrt{3}$ .

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Étape 1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\tan (45 - 30) \tan (30)$

Étape 1.2

Séparez la négation.

$\tan (45 - (30)) \tan (30)$

Étape 1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30)$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30)$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30)$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)} \tan (30)$

Étape 1.7

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Étape 1.8

Simplifiez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Étape 1.8.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $3$ .

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Étape 1.8.1.2

Associez.

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Étape 1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Étape 1.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.8.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Étape 1.8.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Étape 1.8.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Étape 1.8.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Étape 1.8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.8.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Étape 1.8.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.8.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Étape 1.8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Étape 1.8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \tan (30)$

Étape 1.8.6

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \tan (30)$

Étape 1.8.7

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})} \tan (30)$

Étape 1.8.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}} \tan (30)$

Étape 1.8.9

Simplifiez

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.10.1

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.10.2

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.11

Réécrivez ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.12

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.8.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 1.8.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.8.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.13.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.14

Annulez le facteur commun à $12 - 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 1.8.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.14.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Étape 1.8.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)} \tan (30)$

Étape 1.8.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \tan (30)$

Étape 1.8.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1} \tan (30)$

Étape 1.8.14.4.4

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$(2 - \sqrt{3}) \tan (30)$

Étape 2

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$(2 - \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Multipliez $- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 5.1

Associez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Étape 7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Étape 7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{1}}{3}$

Étape 7.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 3}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{3} - 3}{3}$

Forme décimale :

$0.15470053 \dots$