Algèbre Exemples

$\sin (x) < 1$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x < \arcsin (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x < \frac{π}{2}$

Étape 3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 4

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (5) < 1$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $- 0.95892427$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Vrai

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10