Algèbre Exemples

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$ $g (x) = x + 7$

Étape 1

Remplacez $f (x)$ par $x + 7$ .

$x + 7 = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 = x + 7$

Étape 2.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 - x = 7$

Étape 2.2.2

Soustrayez $x$ de $25 x$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 = 7$

Étape 2.3

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 - 7 = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $7$ de $- 70$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77 = 0$

Étape 2.5

Factorisez $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.5.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1$

Étape 2.5.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

Étape 2.5.3

Remplacez $- 7$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 7$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.5.3.1

Remplacez $- 7$ dans le polynôme.

${(- 7)}^{3} + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Étape 2.5.3.2

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$- 343 + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Étape 2.5.3.3

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$- 343 + 12 \cdot 49 + 24 \cdot - 7 - 77$

Étape 2.5.3.4

Multipliez $12$ par $49$ .

$- 343 + 588 + 24 \cdot - 7 - 77$

Étape 2.5.3.5

Additionnez $- 343$ et $588$ .

$245 + 24 \cdot - 7 - 77$

Étape 2.5.3.6

Multipliez $24$ par $- 7$ .

$245 - 168 - 77$

Étape 2.5.3.7

Soustrayez $168$ de $245$ .

$77 - 77$

Étape 2.5.3.8

Soustrayez $77$ de $77$ .

$0$

Étape 2.5.4

Comme $- 7$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 7$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77}{x + 7}$

Étape 2.5.5

Divisez $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ par $x + 7$ .

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Étape 2.5.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$7$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$24 x$

$77$

Étape 2.5.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$

Étape 2.5.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			+	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Étape 2.5.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Étape 2.5.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Étape 2.5.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 2.5.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 2.5.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$35 x$

Étape 2.5.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{2} + 35 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$

Étape 2.5.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$

Étape 2.5.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Étape 2.5.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 11 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Étape 2.5.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							-	$11 x$	-	$77$

Étape 2.5.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 11 x - 77$

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$

Étape 2.5.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$
										$0$

Étape 2.5.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 5 x - 11$

Étape 2.5.6

Écrivez $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$

Étape 2.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 7 = 0$

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Étape 2.7

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 2.7.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 2.8

Définissez $x^{2} + 5 x - 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.8.1

Définissez $x^{2} + 5 x - 11$ égal à $0$ .

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Étape 2.8.2

Résolvez $x^{2} + 5 x - 11 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.8.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.8.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 5$ et $c = - 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.3

Simplifiez

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Étape 2.8.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.2.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Étape 2.8.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.3.1.3

Additionnez $25$ et $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Étape 2.8.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.8.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.2.4.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Étape 2.8.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.4.1.3

Additionnez $25$ et $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Étape 2.8.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{69}}{2}$

Étape 2.8.2.4.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{69}}{2}$

Étape 2.8.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{69})}{2}$

Étape 2.8.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{69})}{2}$

Étape 2.8.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$

Étape 2.8.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.8.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.2.5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Étape 2.8.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.5.1.3

Additionnez $25$ et $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Étape 2.8.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{69}}{2}$

Étape 2.8.2.5.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{69}}{2}$

Étape 2.8.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{69})}{2}$

Étape 2.8.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (\sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{69})}{2}$

Étape 2.8.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Étape 2.8.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Étape 2.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$ vraie.

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Forme décimale :

$x = - 7, 1.65331193 \dots, - 6.65331193 \dots$