Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x - 3} \div \frac{x - 5}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{x - 3} (x^{2} - 9)$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{x + 3}{x - 3}$ par $x^{2} - 9$ .

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 9)}{x - 3}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 3^{2})}{x - 3}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Étape 4.3

Associez les exposants.

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Étape 4.3.1

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{1} (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Étape 4.3.2

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 5.1.2

Divisez ${(x + 3)}^{2}$ par $1$ .

${(x + 3)}^{2}$

Étape 5.2

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$(x + 3) (x + 3)$

Étape 6

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Étape 7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Étape 7.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Étape 7.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Étape 7.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9$