Algèbre Exemples

$- 2 y^{2} + x - 20 y - 49 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $2 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x - 20 y - 49 = 2 y^{2}$

Étape 1.2

Ajoutez $20 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x - 49 = 2 y^{2} + 20 y$

Étape 1.3

Ajoutez $49$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2 y^{2} + 20 y + 49$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $2 y^{2} + 20 y + 49$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = 20$

$c = 49$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $20$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (2)}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{10}{2}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2}$

Étape 2.1.1.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Étape 2.1.1.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{1}$

Étape 2.1.1.3.2.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$d = 5$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 49 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{4 \cdot 2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{8}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Divisez $400$ par $8$ .

$e = 49 - 1 \cdot 50$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $50$ .

$e = 49 - 50$

Étape 2.1.1.4.2.2

Soustrayez $50$ de $49$ .

$e = - 1$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(y + 5)}^{2} - 1$ .

$2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Étape 2.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 2$

$h = - 1$

$k = - 5$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 1, - 5)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 2.5.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{7}{8}, - 5)$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = - 5$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{9}{8}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 1, - 5)$

Foyer : $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Axe de symétrie : $y = - 5$

Directrice : $x = - \frac{9}{8}$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 1, - 5)$

Foyer : $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Axe de symétrie : $y = - 5$

Directrice : $x = - \frac{9}{8}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(0, - 5.70710678)$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.2.2

La réponse finale est $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.3

Convertissez $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ en décimale.

$= - 5.70710678$

Étape 3.2

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(0, - 4.29289321)$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2.2.2

La réponse finale est $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2.3

Convertissez $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ en décimale.

$= - 4.29289321$

Étape 3.3

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(1, - 6)$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{4}}{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Étape 3.3.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (1) = - \frac{10 + 2}{2}$

Étape 3.3.2.1.5

Additionnez $10$ et $2$ .

$f (1) = - \frac{12}{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.2.1

Divisez $12$ par $2$ .

$f (1) = - 1 \cdot 6$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (1) = - 6$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 3.3.3

Convertissez $- 6$ en décimale.

$= - 6$

Étape 3.4

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(1, - 4)$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.1.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{4}}{2}$

Étape 3.4.2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Étape 3.4.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (1) = - \frac{10 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 3.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (1) = - \frac{10 - 2}{2}$

Étape 3.4.2.1.6

Soustrayez $2$ de $10$ .

$f (1) = - \frac{8}{2}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Divisez $8$ par $2$ .

$f (1) = - 1 \cdot 4$

Étape 3.4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (1) = - 4$

Étape 3.4.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 3.4.3

Convertissez $- 4$ en décimale.

$= - 4$

Étape 3.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 1, - 5)$

Foyer : $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Axe de symétrie : $y = - 5$

Directrice : $x = - \frac{9}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Étape 5