Algèbre Exemples

$4 (\sqrt[3]{x} + 10)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 4 (\sqrt[3]{y} + 10)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $4 (\sqrt[3]{y} + 10) = x$ .

$4 (\sqrt[3]{y} + 10) = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $4 (\sqrt[3]{y} + 10) = x$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 (\sqrt[3]{y} + 10) = x$ par $4$ .

$\frac{4 (\sqrt[3]{y} + 10)}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (\sqrt[3]{y} + 10)}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\sqrt[3]{y} + 10$ par $1$ .

$\sqrt[3]{y} + 10 = \frac{x}{4}$

Étape 2.3

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[3]{y} = \frac{x}{4} - 10$

Étape 2.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

Étape 2.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y}$ comme $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

Étape 2.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

Étape 2.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

Étape 2.5.2.1.2

Simplifiez

$y = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez ${(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = {(\frac{x}{4})}^{3} + 3 {(\frac{x}{4})}^{2} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{3}}{4^{3}} + 3 {(\frac{x}{4})}^{2} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} + 3 {(\frac{x}{4})}^{2} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} + 3 \frac{x^{2}}{4^{2}} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} + 3 \frac{x^{2}}{16} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.5

Associez $3$ et $\frac{x^{2}}{16}$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2}}{16} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.3.1.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2}}{2 (8)} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2}}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 5) + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.6.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2}}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 5) + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.6.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2}}{8} \cdot - 5 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.7

Associez $\frac{3 x^{2}}{8}$ et $- 5$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2} \cdot - 5}{8} + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.8

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{- 15 x^{2}}{8} + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.10

Associez $3$ et $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.11

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{4} \cdot 100 + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.12

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.3.1.2.12.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{4} \cdot (4 (25)) + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.12.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{4} \cdot (4 \cdot 25) + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.12.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 3 x \cdot 25 + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.13

Multipliez $25$ par $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x + {(- 10)}^{3}$

Étape 2.5.3.1.2.14

Élevez $- 10$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000$ est l’inverse de $f (x) = 4 (\sqrt[3]{x} + 10)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = \frac{{(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{3}}{64} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 (\sqrt[3]{x} + 10)$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = \frac{4^{3} {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{3}}{64} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = \frac{64 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{3}}{64} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = \frac{64 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{3}}{64} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.2.2

Divisez ${(\sqrt[3]{x} + 10)}^{3}$ par $1$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.3

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 4.2.3.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.4.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.4.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.4.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.4.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.4.3

Multipliez $10$ par $3$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.4.4

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 100 + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.4.5

Multipliez $100$ par $3$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.4.6

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.5.1

Appliquez la règle de produit à $4 (\sqrt[3]{x} + 10)$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{15 \cdot (4^{2} {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2})}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.5.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{15 \cdot (16 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2})}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.5.3

Multipliez $15$ par $16$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{240 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.6

Annulez le facteur commun à $240$ et $8$ .

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Étape 4.2.3.6.1

Factorisez $8$ à partir de $240 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{8 (30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2})}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.6.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{8 (30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2})}{8 (1)} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{8 (30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2})}{8 \cdot 1} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}}{1} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.6.2.4

Divisez $30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}$ par $1$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.7

Réécrivez ${(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}$ comme $(\sqrt[3]{x} + 10) (\sqrt[3]{x} + 10)$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 ((\sqrt[3]{x} + 10) (\sqrt[3]{x} + 10))) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.8

Développez $(\sqrt[3]{x} + 10) (\sqrt[3]{x} + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 10) + 10 (\sqrt[3]{x} + 10))) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 10 + 10 (\sqrt[3]{x} + 10))) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \cdot 10)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.9.1.1

Multipliez $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Étape 4.2.3.9.1.1.1

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

Étape 4.2.3.9.1.1.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

Étape 4.2.3.9.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \cdot 10)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.9.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \cdot 10)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.9.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \cdot 10)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.9.1.3

Déplacez $10$ à gauche de $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x^{2}} + 10 \cdot \sqrt[3]{x} + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \cdot 10)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.9.1.4

Multipliez $10$ par $10$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x^{2}} + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \sqrt[3]{x} + 100)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.9.2

Additionnez $10 \sqrt[3]{x}$ et $10 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x^{2}} + 20 \sqrt[3]{x} + 100)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.10

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 \sqrt[3]{x^{2}} + 30 (20 \sqrt[3]{x}) + 30 \cdot 100) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.11

Simplifiez

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Étape 4.2.3.11.1

Multipliez $20$ par $30$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 \sqrt[3]{x^{2}} + 600 \sqrt[3]{x} + 30 \cdot 100) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.11.2

Multipliez $30$ par $100$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 \sqrt[3]{x^{2}} + 600 \sqrt[3]{x} + 3000) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.12

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 \sqrt[3]{x^{2}}) - (600 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot 3000 + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.13

Simplifiez

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Étape 4.2.3.13.1

Multipliez $30$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - (600 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot 3000 + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.13.2

Multipliez $600$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 1 \cdot 3000 + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.13.3

Multipliez $- 1$ par $3000$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

Étape 4.2.3.14

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 75 (4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 10) - 1000$

Étape 4.2.3.15

Multipliez $4$ par $10$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 75 (4 \sqrt[3]{x} + 40) - 1000$

Étape 4.2.3.16

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 75 (4 \sqrt[3]{x}) + 75 \cdot 40 - 1000$

Étape 4.2.3.17

Multipliez $4$ par $75$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x} + 75 \cdot 40 - 1000$

Étape 4.2.3.18

Multipliez $75$ par $40$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x} + 3000 - 1000$

Étape 4.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x} + 3000 - 1000$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Soustrayez $30 \sqrt[3]{x^{2}}$ de $30 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 0 + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x} + 3000 - 1000$

Étape 4.2.4.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x} + 3000 - 1000$

Étape 4.2.4.1.3

Additionnez $- 3000$ et $3000$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 600 \sqrt[3]{x} + 0 + 300 \sqrt[3]{x} - 1000$

Étape 4.2.4.1.4

Additionnez $x + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 600 \sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 600 \sqrt[3]{x} + 300 \sqrt[3]{x} - 1000$

Étape 4.2.4.1.5

Soustrayez $1000$ de $1000$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 300 \sqrt[3]{x} + 0 - 600 \sqrt[3]{x} + 300 \sqrt[3]{x}$

Étape 4.2.4.1.6

Additionnez $x + 300 \sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 300 \sqrt[3]{x} - 600 \sqrt[3]{x} + 300 \sqrt[3]{x}$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $600 \sqrt[3]{x}$ de $300 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x - 300 \sqrt[3]{x} + 300 \sqrt[3]{x}$

Étape 4.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 300 \sqrt[3]{x} + 300 \sqrt[3]{x}$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Additionnez $- 300 \sqrt[3]{x}$ et $300 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 0$

Étape 4.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000} + 10)$

Étape 4.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.4.1

Pour écrire $- \frac{15 x^{2}}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} \cdot \frac{8}{8} + 75 x - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.4.2.1

Multipliez $\frac{15 x^{2}}{8}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2} \cdot 8}{8 \cdot 8} + 75 x - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.2.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2} \cdot 8}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 15 x^{2} \cdot 8}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.4.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} - 15 x^{2} \cdot 8$ .

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Étape 4.3.4.4.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} x - 15 x^{2} \cdot 8}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.4.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 15 x^{2} \cdot 8$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} (- 15 \cdot 8)}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.4.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} (- 15 \cdot 8)$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 15 \cdot 8)}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.4.2

Multipliez $- 15$ par $8$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 120)}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.5

Pour écrire $75 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 120)}{64} + 75 x \cdot \frac{64}{64} - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.6

Associez $75 x$ et $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 120)}{64} + \frac{75 x \cdot 64}{64} - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 120) + 75 x \cdot 64}{64} - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.4.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x - 120) + 75 x \cdot 64$ .

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Étape 4.3.4.8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x - 120)$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x (x - 120)) + 75 x \cdot 64}{64} - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $75 x \cdot 64$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x (x - 120)) + x (75 \cdot 64)}{64} - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (x - 120)) + x (75 \cdot 64)$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x (x - 120) + 75 \cdot 64)}{64} - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 120 + 75 \cdot 64)}{64} - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.8.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + x \cdot - 120 + 75 \cdot 64)}{64} - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.8.4

Déplacez $- 120$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 120 \cdot x + 75 \cdot 64)}{64} - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.8.5

Multipliez $75$ par $64$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 120 x + 4800)}{64} - 1000} + 10)$

Étape 4.3.4.9

Pour écrire $- 1000$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 120 x + 4800)}{64} - 1000 \cdot \frac{64}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.10

Associez $- 1000$ et $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 120 x + 4800)}{64} + \frac{- 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 120 x + 4800) - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.4.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (- 120 x) + x \cdot 4800 - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.2

Simplifiez

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Étape 4.3.4.12.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.4.12.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.3.4.12.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (- 120 x) + x \cdot 4800 - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{1 + 2} + x (- 120 x) + x \cdot 4800 - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} + x (- 120 x) + x \cdot 4800 - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 x \cdot x + x \cdot 4800 - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.2.3

Déplacez $4800$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 x \cdot x + 4800 \cdot x - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.4.12.3.1

Déplacez $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 (x \cdot x) + 4800 \cdot x - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 x^{2} + 4800 \cdot x - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.4

Multipliez $- 1000$ par $64$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.5

Réécrivez $x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.12.5.1

Factorisez $x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.3.4.12.5.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 64000, \pm 2, \pm 32000, \pm 4, \pm 16000, \pm 5, \pm 12800, \pm 8, \pm 8000, \pm 10, \pm 6400, \pm 16, \pm 4000, \pm 20, \pm 3200, \pm 25, \pm 2560, \pm 32, \pm 2000, \pm 40, \pm 1600, \pm 50, \pm 1280, \pm 64, \pm 1000, \pm 80, \pm 800, \pm 100, \pm 640, \pm 125, \pm 512, \pm 128, \pm 500, \pm 160, \pm 400, \pm 200, \pm 320, \pm 250, \pm 256$

$q = \pm 1$

Étape 4.3.4.12.5.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 64000, \pm 2, \pm 32000, \pm 4, \pm 16000, \pm 5, \pm 12800, \pm 8, \pm 8000, \pm 10, \pm 6400, \pm 16, \pm 4000, \pm 20, \pm 3200, \pm 25, \pm 2560, \pm 32, \pm 2000, \pm 40, \pm 1600, \pm 50, \pm 1280, \pm 64, \pm 1000, \pm 80, \pm 800, \pm 100, \pm 640, \pm 125, \pm 512, \pm 128, \pm 500, \pm 160, \pm 400, \pm 200, \pm 320, \pm 250, \pm 256$

Étape 4.3.4.12.5.1.3

Remplacez $40$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $40$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.3.4.12.5.1.3.1

Remplacez $40$ dans le polynôme.

$40^{3} - 120 \cdot 40^{2} + 4800 \cdot 40 - 64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.3.2

Élevez $40$ à la puissance $3$ .

$64000 - 120 \cdot 40^{2} + 4800 \cdot 40 - 64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.3.3

Élevez $40$ à la puissance $2$ .

$64000 - 120 \cdot 1600 + 4800 \cdot 40 - 64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.3.4

Multipliez $- 120$ par $1600$ .

$64000 - 192000 + 4800 \cdot 40 - 64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.3.5

Soustrayez $192000$ de $64000$ .

$- 128000 + 4800 \cdot 40 - 64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.3.6

Multipliez $4800$ par $40$ .

$- 128000 + 192000 - 64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.3.7

Additionnez $- 128000$ et $192000$ .

$64000 - 64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.3.8

Soustrayez $64000$ de $64000$ .

$0$

Étape 4.3.4.12.5.1.4

Comme $40$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 40$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000}{x - 40}$

Étape 4.3.4.12.5.1.5

Divisez $x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000$ par $x - 40$ .

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Étape 4.3.4.12.5.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$40$

$x^{3}$

$120 x^{2}$

$4800 x$

$64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			+	$x^{3}$	-	$40 x^{2}$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 40 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 80 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$80 x$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$80 x$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					-	$80 x^{2}$	+	$3200 x$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 80 x^{2} + 3200 x$

				$x^{2}$	-	$80 x$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$80 x$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$80 x$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$	-	$64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $1600 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$80 x$	+	$1600$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$	-	$64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$80 x$	+	$1600$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$	-	$64000$
							+	$1600 x$	-	$64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $1600 x - 64000$

				$x^{2}$	-	$80 x$	+	$1600$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$	-	$64000$
							-	$1600 x$	+	$64000$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$80 x$	+	$1600$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$	-	$64000$
							-	$1600 x$	+	$64000$
										$0$

Étape 4.3.4.12.5.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 80 x + 1600$

Étape 4.3.4.12.5.1.6

Écrivez $x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000$ comme un ensemble de facteurs.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{(x - 40) (x^{2} - 80 x + 1600)}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.5.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.4.12.5.2.1

Réécrivez $1600$ comme $40^{2}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{(x - 40) (x^{2} - 80 x + 40^{2})}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.5.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$80 x = 2 \cdot x \cdot 40$

Étape 4.3.4.12.5.2.3

Réécrivez le polynôme.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{(x - 40) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 40 + 40^{2})}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.5.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 40$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{(x - 40) {(x - 40)}^{2}}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.5.3

Associez les facteurs similaires.

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Étape 4.3.4.12.5.3.1

Élevez $x - 40$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{(x - 40) {(x - 40)}^{2}}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.5.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{{(x - 40)}^{1 + 2}}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.12.5.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{{(x - 40)}^{3}}{64}} + 10)$

Étape 4.3.4.13

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{{(x - 40)}^{3}}{4^{3}}} + 10)$

Étape 4.3.4.14

Réécrivez $\frac{{(x - 40)}^{3}}{4^{3}}$ comme ${(\frac{x - 40}{4})}^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{{(\frac{x - 40}{4})}^{3}} + 10)$

Étape 4.3.4.15

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x - 40}{4} + 10)$

Étape 4.3.5

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x - 40}{4} + 10 \cdot \frac{4}{4})$

Étape 4.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.6.1

Associez $10$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x - 40}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4})$

Étape 4.3.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x - 40 + 10 \cdot 4}{4})$

Étape 4.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.7.1

Multipliez $10$ par $4$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x - 40 + 40}{4})$

Étape 4.3.7.2

Additionnez $- 40$ et $40$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x + 0}{4})$

Étape 4.3.7.3

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x}{4})$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x}{4})$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000$ est l’inverse de $f (x) = 4 (\sqrt[3]{x} + 10)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000$