Algèbre Exemples

$f (x) = {(x - 1)}^{3} + 2$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int {(x - 1)}^{3} d x + \int 2 d x$

Étape 3

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{3} d u + \int 2 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int 2 d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 2 x + C$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{1}{4} u^{4} + 2 x + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$

Étape 8

La fonction $F$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$F (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$