Algèbre Exemples

$\frac{\sin (\frac{11 π}{6}) - \cos (\frac{π}{6})}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\frac{- \sin (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{6})}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} - \cos (\frac{π}{6})}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.2

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{6})}$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 2.6

Soustrayez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ de $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 3

Associez $- 2$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{- 2 \sqrt{3}}{2}}$

Étape 4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1

Réduisez l’expression $\frac{- 2 \sqrt{3}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 (- \sqrt{3})}{2}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 (1)}}$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 \cdot 1}}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{- \sqrt{3}}{1}}$

Étape 4.2

Divisez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \sqrt{3}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{3}}$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{\sqrt{3}})$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))$

Étape 8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Étape 8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})$

Étape 8.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Étape 8.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Étape 8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Étape 8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})$

Étape 8.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 9

Multipliez $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{(- 1 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{(- 1 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{6}$

Étape 10

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{- 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 11

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 12

Multipliez $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 12.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{6}$

Étape 12.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{6}$

Étape 12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{- \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Étape 12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Étape 13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 13.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Étape 13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Étape 13.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 13.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 13.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{1}}{6}$

Étape 13.1.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{- \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{6}$

Étape 13.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - 3}{6}$

Étape 14

Simplifiez en factorisant.

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Étape 14.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{3}$ .

$- \frac{- (\sqrt{3}) - 3}{6}$

Étape 14.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$- \frac{- (\sqrt{3}) - 1 (3)}{6}$

Étape 14.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{3}) - 1 (3)$ .

$- \frac{- (\sqrt{3} + 3)}{6}$

Étape 14.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.4.1

Réécrivez $- (\sqrt{3} + 3)$ comme $- 1 (\sqrt{3} + 3)$ .

$- \frac{- 1 (\sqrt{3} + 3)}{6}$

Étape 14.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Étape 14.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Étape 14.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{6}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Forme décimale :

$0.78867513 \dots$