Algèbre Exemples

$\sec^{2} (x) + 3 \sec (x) + 2 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sec (x)$ par $u$ .

$u^{2} + 3 u + 2 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} + 3 u + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 1) (u + 2) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + 1) (\sec (x) + 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sec (x) + 1 = 0$

$\sec (x) + 2 = 0$

Étape 3

Définissez $\sec (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sec (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sec (x) + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sec (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sec (x) = - 1$

Étape 3.2.2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- 1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de $arcsec (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 3.2.4

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 3.2.5

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sec (x) + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sec (x) + 2$ égal à $0$ .

$\sec (x) + 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sec (x) + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sec (x) = - 2$

Étape 4.2.2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- 2)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $arcsec (- 2)$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2.4

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2.5

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 4.2.5.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.5.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 4.2.5.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.7

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\sec (x) + 1) (\sec (x) + 2) = 0$ vraie.

$x = π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$