Algèbre Exemples

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} = \frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $3$ .

$- 2, 5$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{2}{x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{2}{x + 5} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{x - 2}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 2) (x + 5)} - \frac{2}{x + 5} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{2}{x + 5}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 2) (x + 5)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 5)$ .

$\frac{x + 5}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 5 - 2 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 5 - 2 (x - 2) - (2 x - 1)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 5 - 2 x - 2 \cdot - 2 - (2 x - 1)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - (2 x - 1)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - (2 x) - - 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - 2 x - - 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - 2 x + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 5 + 4 - 2 x + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 5 + 4 + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10

Additionnez $5$ et $4$ .

$\frac{- 3 x + 9 + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.11

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{- 3 x + 10}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 10}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.13

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 10)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x - 10)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.15

Réécrivez $- (3 x - 10)$ comme $- 1 (3 x - 10)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 10)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x - 10}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x - 10}{(x + 5) (x - 2)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 5) (x - 2) = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 5) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - 5, 2$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 5, x = 2$

Étape 6