Algèbre Exemples

$- \frac{16}{5}$ , $8$ , $- 20$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $- \frac{5}{2}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = - \frac{5}{2}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = - \frac{16}{5}$ et $r = - \frac{5}{2}$ .

$a_{n} = - \frac{16}{5} {(- \frac{5}{2})}^{n - 1}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$a_{n} = - \frac{16}{5} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{5}{2})}^{n - 1})$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$a_{n} = - \frac{16}{5} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{5^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{n - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez ${(- 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{16}{5} \frac{5^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 5.2

Multipliez ${(- 1)}^{n - 1}$ par $- 1$ .

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Étape 5.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{16}{5} \frac{5^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{16}{5} \frac{5^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 5.3

Associez les termes opposés dans $n - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n + 0} \frac{16}{5} \frac{5^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 5.3.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{16}{5} \frac{5^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 6

Associez ${(- 1)}^{n}$ et $\frac{16}{5}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 16}{5} \cdot \frac{5^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 7

Associez.

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 16 \cdot 5^{n - 1}}{5 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $5^{n - 1}$ et $5$ .

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Étape 8.1

Factorisez $5$ à partir de ${(- 1)}^{n} \cdot 16 \cdot 5^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{5 ({(- 1)}^{n} \cdot 16 \cdot 5^{n - 2})}{5 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 2^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{5 ({(- 1)}^{n} \cdot 16 \cdot 5^{n - 2})}{5 (2^{n - 1})}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$a_{n} = \frac{5 ({(- 1)}^{n} \cdot 16 \cdot 5^{n - 2})}{5 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 16 \cdot 5^{n - 2}}{2^{n - 1}}$

Étape 9

Déplacez $16$ à gauche de ${(- 1)}^{n}$ .

$a_{n} = \frac{16 {(- 1)}^{n} \cdot 5^{n - 2}}{2^{n - 1}}$

Étape 10

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{4} = \frac{16 {(- 1)}^{4} \cdot 5^{(4) - 2}}{2^{(4) - 1}}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$a_{4} = \frac{16 \cdot 1 \cdot 5^{4 - 2}}{2^{4 - 1}}$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$a_{4} = \frac{16 \cdot 1 \cdot 5^{2}}{2^{4 - 1}}$

Étape 11.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$a_{4} = \frac{16 \cdot 1 \cdot 25}{2^{4 - 1}}$

Étape 11.4

Associez les exposants.

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Étape 11.4.1

Multipliez $16$ par $1$ .

$a_{4} = \frac{16 \cdot 25}{2^{4 - 1}}$

Étape 11.4.2

Multipliez $16$ par $25$ .

$a_{4} = \frac{400}{2^{4 - 1}}$

Étape 12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$a_{4} = \frac{400}{2^{3}}$

Étape 12.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$a_{4} = \frac{400}{8}$

Étape 13

Divisez $400$ par $8$ .

$a_{4} = 50$