Algèbre Exemples

$2 y^{2} + x + 20 y + 51 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $2 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x + 20 y + 51 = - 2 y^{2}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $20 y$ des deux côtés de l’équation.

$x + 51 = - 2 y^{2} - 20 y$

Étape 1.1.3

Soustrayez $51$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2 y^{2} - 20 y - 51$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- 2 y^{2} - 20 y - 51$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 2$

$b = - 20$

$c = - 51$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 20}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 20$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 (- 2)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 10}{- 2}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $- 2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 10$ .

$d = \frac{- 2 (5)}{- 2}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$d = 5$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 51 - \frac{{(- 20)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$e = - 51 - \frac{400}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$e = - 51 - \frac{400}{- 8}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $400$ par $- 8$ .

$e = - 51 - - 50$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 50$ .

$e = - 51 + 50$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $- 51$ et $50$ .

$e = - 1$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 2 {(y + 5)}^{2} - 1$ .

$- 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 2$

$h = - 1$

$k = - 5$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 1, - 5)$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Étape 4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$

Étape 5

Déterminez la directrice.

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Étape 5.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{7}{8}$

Étape 6