Algèbre Exemples

$\frac{(x^{3} - y^{3}) (x^{2} + 2 x y + y^{2})}{(x^{2} - y^{2}) (x^{2} + x y + y^{2})} - x - y$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) (x^{2} + 2 x y + y^{2})}{(x^{2} - y^{2}) (x^{2} + x y + y^{2})} - x - y$

Étape 1.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.2.1

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2})}{(x^{2} - y^{2}) (x^{2} + x y + y^{2})} - x - y$

Étape 1.1.2.3

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) {(x + y)}^{2}}{(x^{2} - y^{2}) (x^{2} + x y + y^{2})} - x - y$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} - x - y$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x - y$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} - x - y$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} + x y + y^{2}) {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x^{2} + x y + y^{2})} - x - y$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} + x y + y^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + x y + y^{2}) {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x^{2} + x y + y^{2})} - x - y$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{x + y} - x - y$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun à ${(x + y)}^{2}$ et $x + y$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $x + y$ à partir de ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x + y)}{x + y} - x - y$

Étape 1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) \cdot 1} - x - y$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) \cdot 1} - x - y$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + y}{1} - x - y$

Étape 1.5.2.4

Divisez $x + y$ par $1$ .

$x + y - x - y$

Étape 2

Associez les termes opposés dans $x + y - x - y$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$y + 0 - y$

Étape 2.2

Additionnez $y$ et $0$ .

$y - y$

Étape 2.3

Soustrayez $y$ de $y$ .

$0$