Algèbre Exemples

$x^{2} - y^{2} - 6 x + 4 y = - 4$

Étape 1

Complétez le carré pour $x^{2} - 6 x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Étape 1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 1.3.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Étape 1.4.2.1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Étape 2

Remplacez $x^{2} - 6 x$ par ${(x - 3)}^{2} - 9$ dans l’équation $x^{2} - y^{2} - 6 x + 4 y = - 4$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 - y^{2} + 4 y = - 4$

Étape 3

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} - y^{2} + 4 y = - 4 + 9$

Étape 4

Complétez le carré pour $- y^{2} + 4 y$ .

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Étape 4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 4.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2.1.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Étape 4.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - - 4$

Étape 4.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$e = 4$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y - 2)}^{2} + 4$ .

$- {(y - 2)}^{2} + 4$

Étape 5

Remplacez $- y^{2} + 4 y$ par $- {(y - 2)}^{2} + 4$ dans l’équation $x^{2} - y^{2} - 6 x + 4 y = - 4$ .

${(x - 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2} + 4 = - 4 + 9$

Étape 6

Déplacez $4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = - 4 + 9 - 4$

Étape 7

Simplifiez $- 4 + 9 - 4$ .

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Étape 7.1

Additionnez $- 4$ et $9$ .

${(x - 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 5 - 4$

Étape 7.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

${(x - 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 1$