Algèbre Exemples

$(4 x^{2} + 5 x + 4) (x^{2} - 3 x + 1)$

Étape 1

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$a x^{2} + b x + c$

Étape 2

Développez $(4 x^{2} + 5 x + 4) (x^{2} - 3 x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} (- 3 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} (- 3 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} (- 3 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 x^{4} + 4 x^{2} (- 3 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{4} + 4 \cdot - 3 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{4} + 4 \cdot - 3 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x^{4} + 4 \cdot - 3 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{4} + 4 \cdot - 3 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 x^{4} + 4 \cdot - 3 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 (x^{2} x) + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 (x^{2} x^{1}) + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x^{2 + 1} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x^{3} + 5 x (- 3 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x^{3} + 5 \cdot - 3 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.8.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x^{3} + 5 \cdot - 3 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x^{3} + 5 \cdot - 3 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.9

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x^{3} - 15 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x^{3} - 15 x^{2} + 5 x + 4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.11

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x^{3} - 15 x^{2} + 5 x + 4 x^{2} - 12 x + 4 \cdot 1$

Étape 3.1.12

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x^{3} - 15 x^{2} + 5 x + 4 x^{2} - 12 x + 4$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.1

Additionnez $- 12 x^{3}$ et $5 x^{3}$ .

$4 x^{4} - 7 x^{3} + 4 x^{2} - 15 x^{2} + 5 x + 4 x^{2} - 12 x + 4$

Étape 3.2.2

Soustrayez $15 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 7 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x + 4 x^{2} - 12 x + 4$

Étape 3.2.3

Additionnez $- 11 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 7 x^{3} - 7 x^{2} + 5 x - 12 x + 4$

Étape 3.2.4

Soustrayez $12 x$ de $5 x$ .

$4 x^{4} - 7 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 4$