Algèbre Exemples

${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

${(\sqrt{x} - (\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}))}^{2}$

Étape 1.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}$

Étape 1.1.2.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}$

Étape 1.1.2.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}$

Étape 1.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}$

Étape 1.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}$

Étape 1.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Étape 1.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Étape 1.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Étape 1.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Étape 1.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}$

Étape 1.1.2.6.5

Simplifiez

${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x})}^{2}$ comme $(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}) (\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x})$ .

$(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}) (\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 2

Développez $(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}) (\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{x} (\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} (\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} (\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 3.1.1.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

${\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.1.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

${\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez

$x + \sqrt{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x}) - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x - \sqrt{x} \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.4

Multipliez $- \sqrt{x} \frac{\sqrt{x}}{x}$ .

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Étape 3.1.4.1

Associez $\frac{\sqrt{x}}{x}$ et $\sqrt{x}$ .

$x - \frac{\sqrt{x} \sqrt{x}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.4.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$x - \frac{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.4.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$x - \frac{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - \frac{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x - \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x - \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x - \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x - \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x - \frac{x^{1}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.5.5

Simplifiez

$x - \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$x - \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$x - 1 \cdot 1 - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x - 1 - \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.8

Multipliez $- \frac{\sqrt{x}}{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 3.1.8.1

Associez $\sqrt{x}$ et $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$x - 1 - \frac{\sqrt{x} \sqrt{x}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.8.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$x - 1 - \frac{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.8.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$x - 1 - \frac{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - 1 - \frac{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x - 1 - \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.9

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 3.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 1 - \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 1 - \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x - 1 - \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$x - 1 - \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$x - 1 - \frac{x^{1}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.9.5

Simplifiez

$x - 1 - \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.10

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.10.1

Annulez le facteur commun.

$x - 1 - \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.10.2

Réécrivez l’expression.

$x - 1 - 1 \cdot 1 - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x - 1 - 1 - \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 3.1.12

Multipliez $- \frac{\sqrt{x}}{x} (- \frac{\sqrt{x}}{x})$ .

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Étape 3.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x - 1 - 1 + 1 \frac{\sqrt{x}}{x} \frac{\sqrt{x}}{x}$

Étape 3.1.12.2

Multipliez $\frac{\sqrt{x}}{x}$ par $1$ .

$x - 1 - 1 + \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{x}$

Étape 3.1.12.3

Multipliez $\frac{\sqrt{x}}{x}$ par $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$x - 1 - 1 + \frac{\sqrt{x} \sqrt{x}}{x \cdot x}$

Étape 3.1.12.4

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$x - 1 - 1 + \frac{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}{x \cdot x}$

Étape 3.1.12.5

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$x - 1 - 1 + \frac{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}{x \cdot x}$

Étape 3.1.12.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - 1 - 1 + \frac{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}{x \cdot x}$

Étape 3.1.12.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$x - 1 - 1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x \cdot x}$

Étape 3.1.12.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - 1 - 1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{1} x}$

Étape 3.1.12.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - 1 - 1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{1} x^{1}}$

Étape 3.1.12.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - 1 - 1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{1 + 1}}$

Étape 3.1.12.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$x - 1 - 1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.1.13

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 3.1.13.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 1 - 1 + \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.1.13.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 1 - 1 + \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}$

Étape 3.1.13.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x - 1 - 1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}$

Étape 3.1.13.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.13.4.1

Annulez le facteur commun.

$x - 1 - 1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}$

Étape 3.1.13.4.2

Réécrivez l’expression.

$x - 1 - 1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Étape 3.1.13.5

Simplifiez

$x - 1 - 1 + \frac{x}{x^{2}}$

Étape 3.1.14

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.1.14.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - 1 - 1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Étape 3.1.14.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x - 1 - 1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.1.14.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.14.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x - 1 - 1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Étape 3.1.14.3.2

Annulez le facteur commun.

$x - 1 - 1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Étape 3.1.14.3.3

Réécrivez l’expression.

$x - 1 - 1 + \frac{1}{x}$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$x - 2 + \frac{1}{x}$