Algèbre Exemples

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} \leq 4$

Étape 1

Soustrayez ${(x - 1)}^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

${(y + 2)}^{2} \leq 4 - {(x - 1)}^{2}$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{{(y + 2)}^{2}} \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| y + 2 | \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{2^{2} - {(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x - 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(2 + x - 1) (2 - (x - 1))}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.1.3.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - (x - 1))}$

Étape 3.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x - - 1)}$

Étape 3.2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

Étape 3.2.1.3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Étape 4

Écrivez $| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$y + 2 \geq 0$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$y \geq - 2$

Étape 4.3

Dans la partie où $y + 2$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ et déterminez l’intersection avec $y \geq - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Déterminez le domaine de $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Étape 4.4.1.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.1

Simplifiez $(x + 1) (- x + 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.1.1

Développez $(x + 1) (- x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Étape 4.4.1.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Étape 4.4.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.4.1.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.4.1.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.4.1.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.4.1.2.1.2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.4.1.2.1.2.1.4

Multipliez $- x$ par $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.4.1.2.1.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Étape 4.4.1.2.1.2.2

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Étape 4.4.1.2.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Étape 4.4.1.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Étape 4.4.1.2.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Étape 4.4.1.2.3.1.3

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 4.4.1.2.3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 4.4.1.2.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Étape 4.4.1.2.3.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.3.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 4.4.1.2.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Étape 4.4.1.2.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 4.4.1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4.4.1.2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.4.1.2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.4.1.2.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.4.1.2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.4.1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$

Étape 4.4.1.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Étape 4.4.1.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 4.4.1.2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Étape 4.4.1.2.9.1.3

Le côté gauche $- 21$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.4.1.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.4.1.2.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Étape 4.4.1.2.9.2.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.4.1.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 4.4.1.2.9.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Étape 4.4.1.2.9.3.3

Le côté gauche $- 21$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.4.1.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 4.4.1.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 \leq x \leq 3$

Étape 4.4.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, 3]$

Étape 4.4.2

Déterminez l’intersection de $y \geq - 2$ et $[- 1, 3]$ .

$- 1 \leq y \leq 3$

Étape 4.5

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$y + 2 < 0$

Étape 4.6

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$y < - 2$

Étape 4.7

Dans la partie où $y + 2$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Étape 4.8

Déterminez le domaine de $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ et déterminez l’intersection avec $y < - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Déterminez le domaine de $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Étape 4.8.1.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.1

Simplifiez $(x + 1) (- x + 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.1.1

Développez $(x + 1) (- x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Étape 4.8.1.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Étape 4.8.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.8.1.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.8.1.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.8.1.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.8.1.2.1.2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.8.1.2.1.2.1.4

Multipliez $- x$ par $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Étape 4.8.1.2.1.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Étape 4.8.1.2.1.2.2

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Étape 4.8.1.2.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Étape 4.8.1.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Étape 4.8.1.2.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Étape 4.8.1.2.3.1.3

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 4.8.1.2.3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 4.8.1.2.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Étape 4.8.1.2.3.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.3.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 4.8.1.2.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Étape 4.8.1.2.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 4.8.1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4.8.1.2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.8.1.2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.8.1.2.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.8.1.2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.8.1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$

Étape 4.8.1.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Étape 4.8.1.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 4.8.1.2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Étape 4.8.1.2.9.1.3

Le côté gauche $- 21$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.8.1.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.8.1.2.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Étape 4.8.1.2.9.2.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.8.1.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 4.8.1.2.9.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Étape 4.8.1.2.9.3.3

Le côté gauche $- 21$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.8.1.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 4.8.1.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 \leq x \leq 3$

Étape 4.8.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, 3]$

Étape 4.8.2

Déterminez l’intersection de $y < - 2$ et $[- 1, 3]$ .

$Aucune solution$

Étape 4.9

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} & - 1 \leq y \leq 3 \end{cases}$

Étape 5

Résolvez $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ quand $- 1 \leq y \leq 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$

Étape 5.2

Déterminez l’intersection de $y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$ et $- 1 \leq y \leq 3$ .

$- 1 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Étape 6

Déterminez l’union des solutions.

$- 1 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Étape 7