Algèbre Exemples

$\frac{- 2}{x^{2} - 2 x - 3} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{- 2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

Étape 1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) (x + 1) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{(x - 3) (x + 1)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 1) (x + 3)$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (x - 3) (x + 1)$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 (x + 3) + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 3 + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 2 x - 6 + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Étape 6.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{- 2 x - 6 + 3 x + 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Étape 6.5

Additionnez $- 2 x$ et $3 x$ .

$\frac{x - 6 + 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Étape 6.6

Additionnez $- 6$ et $3$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(x + 1) (x + 3)}$