Algèbre Exemples

$\frac{2 a}{2 a + 3} + \frac{5}{3 - 2 a} - \frac{4 a^{2} + 9}{4 a^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4 a^{2}$ comme ${(2 a)}^{2}$ .

$\frac{2 a}{2 a + 3} + \frac{5}{3 - 2 a} - \frac{4 a^{2} + 9}{{(2 a)}^{2} - 9}$

Étape 1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 a}{2 a + 3} + \frac{5}{3 - 2 a} - \frac{4 a^{2} + 9}{{(2 a)}^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 a$ et $b = 3$ .

$\frac{2 a}{2 a + 3} + \frac{5}{3 - 2 a} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 a}{2 a + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - 2 a}{3 - 2 a}$ .

$\frac{2 a}{2 a + 3} \cdot \frac{3 - 2 a}{3 - 2 a} + \frac{5}{3 - 2 a} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{5}{3 - 2 a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 a + 3}{2 a + 3}$ .

$\frac{2 a}{2 a + 3} \cdot \frac{3 - 2 a}{3 - 2 a} + \frac{5}{3 - 2 a} \cdot \frac{2 a + 3}{2 a + 3} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 a + 3) (3 - 2 a)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 a}{2 a + 3}$ par $\frac{3 - 2 a}{3 - 2 a}$ .

$\frac{2 a (3 - 2 a)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} + \frac{5}{3 - 2 a} \cdot \frac{2 a + 3}{2 a + 3} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{5}{3 - 2 a}$ par $\frac{2 a + 3}{2 a + 3}$ .

$\frac{2 a (3 - 2 a)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} + \frac{5 (2 a + 3)}{(3 - 2 a) (2 a + 3)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(3 - 2 a) (2 a + 3)$ .

$\frac{2 a (3 - 2 a)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} + \frac{5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 a (3 - 2 a) + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a \cdot 3 + 2 a (- 2 a) + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 a + 2 a (- 2 a) + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 a + 2 \cdot - 2 a \cdot a + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{6 a + 2 \cdot - 2 (a \cdot a) + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{6 a + 2 \cdot - 2 a^{2} + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 6.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{6 a - 4 a^{2} + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 a - 4 a^{2} + 5 (2 a) + 5 \cdot 3}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{6 a - 4 a^{2} + 10 a + 5 \cdot 3}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 6.7

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{6 a - 4 a^{2} + 10 a + 15}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 6.8

Additionnez $6 a$ et $10 a$ .

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 a$ .

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a) - 3)}$

Étape 7.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a) - 1 (3))}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 2 a) - 1 (3)$ .

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))}$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (- 2 a + 3)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))}$

Étape 8

Pour écrire $\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (- 2 a + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (- 2 a + 3)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))}$

Étape 9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 a + 3) (- 2 a + 3) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (- 2 a + 3)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(- 4 a^{2} + 16 a + 15) \cdot - 1}{(2 a + 3) (- 2 a + 3) \cdot - 1} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))}$

Étape 9.2

Réorganisez les facteurs de $(2 a + 3) (- 2 a + 3) \cdot - 1$ .

$\frac{(- 4 a^{2} + 16 a + 15) \cdot - 1}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))}$

Étape 9.3

Réorganisez les facteurs de $(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))$ .

$\frac{(- 4 a^{2} + 16 a + 15) \cdot - 1}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)} - \frac{4 a^{2} + 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- 4 a^{2} + 16 a + 15) \cdot - 1 - (4 a^{2} + 9)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 a^{2} \cdot - 1 + 16 a \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 - (4 a^{2} + 9)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{4 a^{2} + 16 a \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 - (4 a^{2} + 9)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{4 a^{2} - 16 a + 15 \cdot - 1 - (4 a^{2} + 9)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.2.3

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$\frac{4 a^{2} - 16 a - 15 - (4 a^{2} + 9)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 a^{2} - 16 a - 15 - (4 a^{2}) - 1 \cdot 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 a^{2} - 16 a - 15 - 4 a^{2} - 1 \cdot 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.5

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{4 a^{2} - 16 a - 15 - 4 a^{2} - 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.6

Soustrayez $4 a^{2}$ de $4 a^{2}$ .

$\frac{- 16 a - 15 + 0 - 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.7

Additionnez $- 16 a$ et $0$ .

$\frac{- 16 a - 15 - 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.8

Soustrayez $9$ de $- 15$ .

$\frac{- 16 a - 24}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.9

Factorisez $8$ à partir de $- 16 a - 24$ .

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Étape 11.9.1

Factorisez $8$ à partir de $- 16 a$ .

$\frac{8 (- 2 a) - 24}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.9.2

Factorisez $8$ à partir de $- 24$ .

$\frac{8 (- 2 a) + 8 (- 3)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 11.9.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (- 2 a) + 8 (- 3)$ .

$\frac{8 (- 2 a - 3)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun à $- 2 a - 3$ et $2 a + 3$ .

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Étape 12.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 a$ .

$\frac{8 (- (2 a) - 3)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 12.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (2 a) - 1 (3))}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 12.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 a) - 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (2 a + 3))}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 12.1.4

Réécrivez $- (2 a + 3)$ comme $- 1 (2 a + 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (2 a + 3))}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 12.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (- 1 (2 a + 3))}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Étape 12.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 \cdot (- 1)}{- (- 2 a + 3)}$

Étape 12.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{8}{- 2 a + 3}$

Étape 12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 a$ .

$\frac{8}{- (2 a) + 3}$

Étape 12.4

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{8}{- (2 a) - 1 (- 3)}$

Étape 12.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 a) - 1 (- 3)$ .

$\frac{8}{- (2 a - 3)}$

Étape 12.6

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 12.6.1

Réécrivez $- (2 a - 3)$ comme $- 1 (2 a - 3)$ .

$\frac{8}{- 1 (2 a - 3)}$

Étape 12.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{2 a - 3}$