Algèbre Exemples

$x^{- \frac{2}{3}} + x^{- \frac{1}{3}} - 30 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{- \frac{2}{3}}$ comme ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2} + x^{- \frac{1}{3}} - 30 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{- \frac{1}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{- \frac{1}{3}}$ par $u$ .

$u^{2} + u - 30 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + u - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $1$ .

$- 5, 6$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 5) (u + 6) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$(x^{- \frac{1}{3}} - 5) (x^{- \frac{1}{3}} + 6) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 5 = 0$

$x^{- \frac{1}{3}} + 6 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{- \frac{1}{3}} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{- \frac{1}{3}} - 5$ égal à $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 5 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{- \frac{1}{3}} - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{- \frac{1}{3}} = 5$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $- 3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = 5^{- 3}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = 5^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = 5^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = 5^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = 5^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{- 1 \cdot - 1} = 5^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{1} = 5^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 5^{- 3}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.2.1

Simplifiez $5^{- 3}$ .

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Étape 3.2.3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{5^{3}}$

Étape 3.2.3.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{1}{125}$

Étape 4

Définissez $x^{- \frac{1}{3}} + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{- \frac{1}{3}} + 6$ égal à $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} + 6 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{- \frac{1}{3}} + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{- \frac{1}{3}} = - 6$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $- 3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = {(- 6)}^{- 3}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = {(- 6)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = {(- 6)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = {(- 6)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = {(- 6)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{- 1 \cdot - 1} = {(- 6)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{1} = {(- 6)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 6)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.2.1

Simplifiez ${(- 6)}^{- 3}$ .

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Étape 4.2.3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{{(- 6)}^{3}}$

Étape 4.2.3.2.1.2

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{1}{- 216}$

Étape 4.2.3.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{216}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{- \frac{1}{3}} - 5) (x^{- \frac{1}{3}} + 6) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{125}, - \frac{1}{216}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{125}, - \frac{1}{216}$

Forme décimale :

$x = 0.008, - 0.004\overline{629}$