Algèbre Exemples

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{15}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{\sqrt{3} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{\sqrt{3} + \sqrt{15}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{\sqrt{3} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{(- 2 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + \sqrt{15})}{(\sqrt{3} - \sqrt{15}) (\sqrt{3} + \sqrt{15})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(- 2 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + \sqrt{15})}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{45} - \sqrt{45} - {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(- 2 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + \sqrt{15})}{- 12}$

Étape 3

Développez $(- 2 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + \sqrt{15})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 (\sqrt{3} + \sqrt{15}) + \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{15})}{- 12}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{15})}{- 12}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{15}}{- 12}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{15}}{- 12}$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + \sqrt{9} + \sqrt{3} \sqrt{15}}{- 12}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{15}}{- 12}$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + 3 + \sqrt{3} \sqrt{15}}{- 12}$

Étape 4.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + 3 + \sqrt{3 \cdot 15}}{- 12}$

Étape 4.1.6

Multipliez $3$ par $15$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + 3 + \sqrt{45}}{- 12}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + 3 + \sqrt{9 (5)}}{- 12}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + 3 + \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{- 12}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + 3 + 3 \sqrt{5}}{- 12}$

Étape 4.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{15} + 3 + 3 \sqrt{5}}{12}$

Étape 4.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{- (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{15} + 3 + 3 \sqrt{5}}{12}$

Étape 4.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \sqrt{15}$ .

$- \frac{- (2 \sqrt{3}) - (2 \sqrt{15}) + 3 + 3 \sqrt{5}}{12}$

Étape 4.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \sqrt{3}) - (2 \sqrt{15})$ .

$- \frac{- (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15}) + 3 + 3 \sqrt{5}}{12}$

Étape 4.2.5

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- \frac{- (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15}) - 1 (- 3) + 3 \sqrt{5}}{12}$

Étape 4.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15}) - 1 (- 3)$ .

$- \frac{- (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3) + 3 \sqrt{5}}{12}$

Étape 4.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \sqrt{5}$ .

$- \frac{- (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3) - (- 3 \sqrt{5})}{12}$

Étape 4.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3) - (- 3 \sqrt{5})$ .

$- \frac{- (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3 - 3 \sqrt{5})}{12}$

Étape 4.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.9.1

Réécrivez $- (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3 - 3 \sqrt{5})$ comme $- 1 (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3 - 3 \sqrt{5})$ .

$- \frac{- 1 (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3 - 3 \sqrt{5})}{12}$

Étape 4.2.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3 - 3 \sqrt{5}}{12}$

Étape 4.2.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3 - 3 \sqrt{5}}{12}$

Étape 4.2.9.4

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3 - 3 \sqrt{5}}{12}$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3 - 3 \sqrt{5}}{12}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{15} - 3 - 3 \sqrt{5}}{12}$

Forme décimale :

$0.12515536 \dots$