Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{12} + \sqrt{7}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{7}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{7}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{| 2 | \sqrt{3} + \sqrt{7}}$

Étape 1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ par $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ par $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{(2 \sqrt{3} + \sqrt{7}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}$

Étape 4

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{4 {\sqrt{3}}^{2} - 2 \sqrt{21} + 2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Étape 6

Développez $(\sqrt{7} - \sqrt{5}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Multipliez $\sqrt{7} (2 \sqrt{3})$ .

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Étape 7.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{7 \cdot 3} + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.1.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{21} + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.2

Multipliez $\sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

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Étape 7.2.1

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.2.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{1 + 1} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{2} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.3

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 7.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{1} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{21} - 1 \cdot 7 - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.5

Multipliez $- \sqrt{5} (2 \sqrt{3})$ .

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Étape 7.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{5} \sqrt{3} - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.5.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Étape 7.6

Multipliez $- \sqrt{5} (- \sqrt{7})$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} + 1 \sqrt{5} \sqrt{7}}{5}$

Étape 7.6.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} + \sqrt{5} \sqrt{7}}{5}$

Étape 7.6.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} + \sqrt{5 \cdot 7}}{5}$

Étape 7.6.4

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} + \sqrt{35}}{5}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} + \sqrt{35}}{5}$

Forme décimale :

$0.06705289 \dots$