Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{8} - \sqrt{10}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)} - \sqrt{10}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} - \sqrt{10}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{\sqrt{10} + \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{\sqrt{10} + \sqrt{2}}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{\sqrt{10} + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} - \sqrt{2}) (\sqrt{10} + \sqrt{2})}$

Étape 3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(2 \sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{10} + \sqrt{2})}{{\sqrt{10}}^{2} + \sqrt{20} - \sqrt{20} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

$\frac{(2 \sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8}$

Étape 4

Développez $(2 \sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{10} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + \sqrt{2}) - \sqrt{10} (\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{10} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{10} (\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{10} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

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Étape 5.1.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{10 \cdot 2} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.1.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{20} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{2 \sqrt{4 (5)} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.5

Multipliez $2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 5.1.5.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \sqrt{5} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 2 {\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{5} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{5} + 2 \cdot 2^{1} - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \sqrt{5} + 2 \cdot 2 - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - \sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.8

Multipliez $- \sqrt{10} \sqrt{10}$ .

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Étape 5.1.8.1

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.8.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}) - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - {\sqrt{10}}^{1 + 1} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - {\sqrt{10}}^{2} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.9

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 5.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 10^{\frac{2}{2}} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 10^{\frac{2}{2}} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 10^{1} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.9.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 1 \cdot 10 - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.10

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 10 - \sqrt{10} \sqrt{2}}{8}$

Étape 5.1.11

Multipliez $- \sqrt{10} \sqrt{2}$ .

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Étape 5.1.11.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 10 - \sqrt{2 \cdot 10}}{8}$

Étape 5.1.11.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 10 - \sqrt{20}}{8}$

Étape 5.1.12

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.1.12.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 10 - \sqrt{4 (5)}}{8}$

Étape 5.1.12.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 10 - \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{8}$

Étape 5.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 10 - (2 \sqrt{5})}{8}$

Étape 5.1.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 \sqrt{5} + 4 - 10 - 2 \sqrt{5}}{8}$

Étape 5.2

Soustrayez $2 \sqrt{5}$ de $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 - 10 + 2 \sqrt{5}}{8}$

Étape 5.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$\frac{- 6 + 2 \sqrt{5}}{8}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $- 6 + 2 \sqrt{5}$ et $8$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 2 \sqrt{5}}{8}$

Étape 6.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 2 (\sqrt{5})}{8}$

Étape 6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 3 + 2 (\sqrt{5})$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + \sqrt{5})}{8}$

Étape 6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + \sqrt{5})}{2 (4)}$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot (- 3 + \sqrt{5})}{2 \cdot 4}$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 + \sqrt{5}}{4}$

Étape 7

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + \sqrt{5}}{4}$

Étape 8

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{5}$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{5})}{4}$

Étape 9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$\frac{- 1 (3 - \sqrt{5})}{4}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Forme décimale :

$- 0.19098300 \dots$