Algèbre Exemples

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Étape 1

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{2} (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$\sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) + \sqrt{2} = 0$

Étape 4

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$\sqrt{2} (- {(u)}^{2}) + u + \sqrt{2} = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = - \sqrt{2}$ , $b = 1$ et $c = \sqrt{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.3

Multipliez $4 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 7.1.3.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.6

Additionnez $1$ et $8$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{- 1 \pm 3}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.5.1

Multipliez $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 7.5.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 7.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 7.5.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 7.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 7.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 7.5.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.5.7.5

Évaluez l’exposant.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Étape 7.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ .

$u = \frac{\sqrt{2} (1 \pm 3)}{4}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \sqrt{2}$ .

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Étape 11.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $\sqrt{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 12.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 12.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 12.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 12.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 12.4.2

Associez les fractions.

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Étape 12.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 12.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 12.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 12.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$