Algèbre Exemples

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - \frac{4}{5} y + \frac{1}{5}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{4}{5} y + \frac{1}{5} = x$ .

$- \frac{4}{5} y + \frac{1}{5} = x$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $y$ et $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{5} + \frac{1}{5} = x$

Étape 2.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$- \frac{4 y}{5} + \frac{1}{5} = x$

Étape 2.3

Soustrayez $\frac{1}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{4 y}{5} = x - \frac{1}{5}$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Étape 2.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.1.1

Simplifiez $- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5})$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Étape 2.5.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 y}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Étape 2.5.1.1.1.3

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{5 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Étape 2.5.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Étape 2.5.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Étape 2.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y$ .

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Étape 2.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Étape 2.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - y = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Étape 2.5.1.1.3

Multipliez.

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Étape 2.5.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Étape 2.5.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez $- \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 2.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} (- \frac{1}{5})$

Étape 2.5.2.1.1.2

Associez $x$ et $\frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} (- \frac{1}{5})$

Étape 2.5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.2.1.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{4}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} (- \frac{1}{5})$

Étape 2.5.2.1.1.3.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{5}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot \frac{- 1}{5}$

Étape 2.5.2.1.1.3.3

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 1}{5}$

Étape 2.5.2.1.1.3.4

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 1}{5}$

Étape 2.5.2.1.1.3.5

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

Étape 2.5.2.1.1.4

Associez $\frac{- 1}{4}$ et $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- - 1}{4}$

Étape 2.5.2.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 2.5.2.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = - \frac{5 (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5})}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 5 (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1.1

Associez $x$ et $\frac{4}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 5 (- \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{1}{5}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 5 (- \frac{4 x}{5} + \frac{1}{5}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 5 (- \frac{4 x}{5}) - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 x}{5}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 5 \frac{- 4 x}{5} - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.3.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{5 (- 1) (\frac{- 4 x}{5}) - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{5 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{5}) - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 1 (- 4 x) - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.4.5.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x + 5 (- 1) (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.5.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x + 5 \cdot (- 1 (\frac{1}{5})) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.5.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Étape 4.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.5.1

Associez les termes opposés dans $4 x - 1 + 1$ .

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Étape 4.2.5.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Étape 4.2.5.1.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{5}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{- 4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 x}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.2.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = - 1 (- x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = 1 x - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{5}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x + \frac{- 4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x + \frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x + \frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x + \frac{- 1}{5} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- \frac{1}{5}$ et $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}$