Algèbre Exemples

$\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{1}{\frac{x + 1}{x + 2}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x + 1}{x + 2} + 1 \frac{x + 2}{x + 1}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{x + 2}{x + 1}$ par $1$ .

$\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 1}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x + 1}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 2}{x + 1}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x + 2}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 2}{x + 1} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x + 1}{x + 2}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 2) (x + 1)} + \frac{x + 2}{x + 1} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x + 2}{x + 1}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 2) (x + 1)} + \frac{(x + 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{(x + 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 1) + (x + 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) + 1 (x + 1) + (x + 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) + (x + 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + (x + 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + (x + 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + (x + 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 + (x + 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 + (x + 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x + 2) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.3

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + x (x + 2) + 2 (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + 2 x + 2 x + 4}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.4.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + 4 x + 4}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.5

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1 + 4 x + 4}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.6

Additionnez $2 x$ et $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 1 + 4}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 6.7

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 5}{(x + 1) (x + 2)}$