Algèbre Exemples

$\sqrt{2 x + 4} = \sqrt{x} - 2$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x + 4}}^{2} = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 4}$ comme ${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x + 4)}^{1} = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$2 x + 4 = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{x} - 2)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{x} - 2)}^{2}$ comme $(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 2)$ .

$2 x + 4 = (\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 2)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 4 = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) - 2 (\sqrt{x} - 2)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 4 = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 (\sqrt{x} - 2)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 4 = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 2.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 4 = {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 4 = {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x + 4 = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x + 4 = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 4 = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 4 = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x + 4 = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + 4 = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x + 4 = x^{1} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$2 x + 4 = x + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{x}$ .

$2 x + 4 = x - 2 \cdot \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 x + 4 = x - 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} + 4$

Étape 2.3.1.3.2

Soustrayez $2 \sqrt{x}$ de $- 2 \sqrt{x}$ .

$2 x + 4 = x - 4 \sqrt{x} + 4$

Étape 3

Résolvez $- 4 \sqrt{x}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x - 4 \sqrt{x} + 4 = 2 x + 4$ .

$x - 4 \sqrt{x} + 4 = 2 x + 4$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 4 \sqrt{x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sqrt{x} + 4 = 2 x + 4 - x$

Étape 3.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sqrt{x} = 2 x + 4 - x - 4$

Étape 3.2.3

Associez les termes opposés dans $2 x + 4 - x - 4$ .

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$- 4 \sqrt{x} = 2 x - x + 0$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $2 x - x$ et $0$ .

$- 4 \sqrt{x} = 2 x - x$

Étape 3.2.4

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$- 4 \sqrt{x} = x$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 4 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(- 4 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 x^{1} = x^{2}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$16 x = x^{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$16 x - x^{2} = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$16 u - u^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $u$ à partir de $16 u - u^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $u$ à partir de $16 u$ .

$u \cdot 16 - u^{2} = 0$

Étape 6.2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$u \cdot 16 + u (- u) = 0$

Étape 6.2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 16 + u (- u)$ .

$u (16 - u) = 0$

Étape 6.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (16 - x) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$16 - x = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $16 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $16 - x$ égal à $0$ .

$16 - x = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $16 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 16$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$x = 16$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (16 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 16$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{2 x + 4} = \sqrt{x} - 2$ vrai.

$Aucune solution$