Algèbre Exemples

$\ln (2 y - 5) + \ln (2) = 5 x + \ln (5 x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 y - 5) \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (2 y \cdot 2 - 5 \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Étape 1.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\ln (4 y - 5 \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\ln (4 y - 10) = 5 x + \ln (5 x)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (4 y - 10) - \ln (5 x) = 5 x$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4 y - 10}{5 x}) = 5 x$

Étape 4

Factorisez $2$ à partir de $4 y - 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$\ln (\frac{2 (2 y) - 10}{5 x}) = 5 x$

Étape 4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\ln (\frac{2 (2 y) + 2 (- 5)}{5 x}) = 5 x$

Étape 4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 y) + 2 (- 5)$ .

$\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x}) = 5 x$

Étape 5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x})} = e^{5 x}$

Étape 6

Réécrivez $\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x}) = 5 x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{5 x} = \frac{2 (2 y - 5)}{5 x}$

Étape 7

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} = e^{5 x}$ .

$\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} = e^{5 x}$

Étape 7.2

Multipliez les deux côtés par $5 x$ .

$\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} (5 x) = e^{5 x} (5 x)$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Simplifiez $\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} (5 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 x} x = e^{5 x} (5 x)$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 (x)} x = e^{5 x} (5 x)$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 x} x = e^{5 x} (5 x)$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 y - 5)}{x} x = e^{5 x} (5 x)$

Étape 7.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 y - 5)}{x} x = e^{5 x} (5 x)$

Étape 7.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 (2 y - 5) = e^{5 x} (5 x)$

Étape 7.3.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 5 = e^{5 x} (5 x)$

Étape 7.3.1.1.5

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 5 = e^{5 x} (5 x)$

Étape 7.3.1.1.5.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$4 y - 10 = e^{5 x} (5 x)$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Simplifiez $e^{5 x} (5 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y - 10 = 5 e^{5 x} x$

Étape 7.3.2.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 e^{5 x} x$ .

$4 y - 10 = 5 x e^{5 x}$

Étape 7.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y = 5 x e^{5 x} + 10$

Étape 7.4.2

Divisez chaque terme dans $4 y = 5 x e^{5 x} + 10$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y = 5 x e^{5 x} + 10$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Étape 7.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Étape 7.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Étape 7.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 (5)}{4}$

Étape 7.4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{5}{2}$