Algèbre Exemples

$4^{x} + 2^{x + 1} = 8$

Étape 1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$4^{x} + 2^{x + 1} - 8 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $2^{x + 1}$ comme $2^{x} \cdot 2^{1}$ .

$4^{x} + 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $4^{x}$ comme ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} + 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

Étape 2.3

Réécrivez ${(2^{2})}^{x}$ comme ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

Étape 2.4

Laissez $u = 2^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $2^{x}$ par $u$ .

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Étape 2.4.1

Évaluez l’exposant.

$u^{2} + u \cdot 2 - 8 = 0$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

Étape 2.5

Factorisez $u^{2} + 2 u - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 2.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Étape 2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2^{x}$ .

$(2^{x} - 2) (2^{x} + 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2^{x} - 2 = 0$

$2^{x} + 4 = 0$

Étape 4

Définissez $2^{x} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $2^{x} - 2$ égal à $0$ .

$2^{x} - 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2^{x} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2^{x} = 2$

Étape 4.2.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{x} = 2^{1}$

Étape 4.2.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 1$

Étape 5

Définissez $2^{x} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $2^{x} + 4$ égal à $0$ .

$2^{x} + 4 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2^{x} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2^{x} = - 4$

Étape 5.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 4)$

Étape 5.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 4)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.2.4

Il n’y a pas de solution pour $2^{x} = - 4$

Aucune solution

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2^{x} - 2) (2^{x} + 4) = 0$ vraie.

$x = 1$