Algèbre Exemples

$\frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{x + 1}{x + 3}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x + 1}{x + 3}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{x + 1}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x + 1}{x + 3}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (x + 1)$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 2 - (x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + 2 + (- x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.3

Développez $(- x - 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 - x (x + 1) - 1 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 - x \cdot x - x \cdot 1 - 1 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 - x \cdot x - x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - x - 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - 2 x - 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.5

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 2 - x^{2} - 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{- x - x^{2} + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 5.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} - x + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - x + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (x) + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (x)$ .

$\frac{- (x^{2} + x) + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 6.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + x) - 1 (- 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + x - 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.1

Réécrivez $- (x^{2} + x - 1)$ comme $- 1 (x^{2} + x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x - 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} + x - 1}{(x + 1) (x + 3)}$